2024年考研高等数学二量子力学中的数学理论历年真题.pdfVIP

2024年考研高等数学二量子力学中的数学理

论历年真题

在2024年的考研高等数学二科目中，量子力学中的数学理论是必

考内容之一。本文将围绕该主题，以历年真题的形式展开，对相关的

数学理论进行探讨。希望通过对历年真题的分析和解答，能够帮助考

生更好地理解和应对这一考点。

一、波函数和可观测量

1.2010年真题

题目描述：一个粒子，其波函数为Ψ(x)=Ae^(-|x|/a)，其中A和a

为实常数，x为位置坐标。求该粒子在区间[-∞,∞]上的归一化常数A。

解答：

根据波函数的归一化条件，可得到以下结果：

∫(Ψ(x))^2dx=1

∫(Ae^(-|x|/a))^2dx=1

∫(A^2)e^(-2|x|/a)dx=1

根据波函数的性质，可知|X|=x，当x0；|X|=-x，当x0。因此，

上式可化简为：

∫(A^2)e^(-2x/a)dx+∫(A^2)e^(2x/a)dx=1

2∫(A^2)e^(-2x/a)dx=1

∫(A^2)e^(-2x/a)dx=1/2

对上式进行积分运算，得出：

∫(A^2)e^(-2x/a)dx=(-aA^2/2)e^(-2x/a)+C

其中C为常数。将上式代入原式，得到：

(-aA^2/2)e^(-2x/a)+C=1/2

(-aA^2/2)e^(-∞/a)+C-(-aA^2/2)e^(∞/a)+C=1/2

(-aA^2/2)+2C=1/2

根据边界条件，可得到：

C=1/(4aA^2)

将C带入上式，可得：

(-aA^2/2)+2(1/(4aA^2))=1/2

-aA^2+1/(2A^2)=1/2

进一步整理，可得：

aA^4-A^2+1/2=0

解该方程，即可求得A的值。

二、矩阵表达和算符

1.2012年真题

题目描述：已知一个算符A，其矩阵表示为A=[312;12-3;2-3

2]，求其特征值和特征向量。

解答：

特征值是通过矩阵的特征方程求得的。设λ为特征值，v为特征向

量，则有：

Av=λv

将矩阵A带入上式，可得：

[312;12-3;2-32][xyz]^T=λ[xyz]^T

根据矩阵乘法，可得到以下三个等式：

3x+y+2z=λx

x+2y-3z=λy

2x-3y+2z=λz

根据以上三个等式，可以列出特征方程组：

(3-λ)x+y+2z=0

x+(2-λ)y-3z=0

2x-3y+(2-λ)z=0

对特征方程组进行求解，得到特征值λ和对应的特征向量[xyz]。

三、量子力学中的不确定关系

1.2018年真题

题目描述：已知测量一个粒子的位置和动量，其不确定关系满足

ΔxΔp≥h/2π，其中Δx和Δp分别为位置和动量的不确定度，h为普朗

克常数。求粒子的能量E与位置x的关系。

解答：

根据量子力学的基本原理，可知粒子的动量与波长有关，而波长与

位置存在以下关系：

λ=h/p

根据普朗克-爱因斯坦关系，可知能量E与频率f之间存在关系：

E=hf

将上述两个关系进行联立，即可求解得到粒子的能量E与位置x的

关系。

本文通过分析2024年考研高等数学二科目中量子力学中的数学理

论历年真题，从波函数和可观测量、矩阵表达和算符以及不确定关系

等方面进行了探讨。希望本文的内容能够对考生在备考过程中有所帮

助，更好地理解和应对量子力学中的数学理论。