计算方法-第三章曲线拟合的最小二乘法20191103-(1).ppt

**3、最小二乘法拟合曲线的平方误差如何计算？例3.5确定经验公式中的参数，使之与下列数据拟合xi0.10.20.30.40.50.6yi0.1720.3230.4840.6901.0001.579*第三章曲线拟合的最小二乘法*解:该问题的求解，可以将其化为线性函数进行由得到令则则再令*第三章曲线拟合的最小二乘法*函数值转化为xi0.10.20.30.40.50.6yi0.1720.3230.4840.6901.0001.579xi0.10.20.30.40.50.6yi5.8143.0962.0661.4491.0000.633这时，法方程组的系数矩阵按下式计算*第三章曲线拟合的最小二乘法**第三章曲线拟合的最小二乘法*由计算出法方程组*第三章曲线拟合的最小二乘法*解得a0=6.0631a1=-0.0474a2=-10.0748利用得到最后得到*第三章曲线拟合的最小二乘法*第三章曲线拟合的最小二乘法第三章曲线拟合的最小二乘法*第三章曲线拟合的最小二乘法*第三章曲线拟合的最小二乘法一、数据拟合的最小二乘法的思想已知离散数据：(xi,yi),i=0,1,2,…,m,假设我们用函数逼近函数f(x)，则两个函数在每一个点xi都会产生一个误差：考虑整体误差§1曲线拟合与最小二乘法*第三章曲线拟合的最小二乘法*应该使整体达最小（误差的平方和最小）。通过这种度量标准求得拟合曲线的方法，就称作曲线拟合的最小二乘法(最小二乘逼近)。*第三章曲线拟合的最小二乘法*二、最小二乘法拟合曲线的步骤第二步：根据图示判断点(xi,yi)所反映的函数类，确定曲线所属的函数类型，例如多项式函数类、三角函数类、指数函数类、对数函数类等。假设所确定的函数类的基函数为第一步：根据如下已知点的坐标，在坐标系里描点则所求的函数可以表示为：只要确定了系数，就可以求出拟合曲线。经验公式*第三章曲线拟合的最小二乘法*第三步：对于其整体误差所求的解应该使以上二次函数达到极小，由极值原理应有：令：*第三章曲线拟合的最小二乘法*令则有这样就给出了求解方程组：离散内积*第三章曲线拟合的最小二乘法*同样称其为法方程组。解法方程组求得便得到最小二乘拟合曲线为了便于求解，我们再对法方程组的导出作进一步分析。*第三章曲线拟合的最小二乘法*得到法方程组系数矩阵第j行的元素为：由*第三章曲线拟合的最小二乘法*于是法方程组的系数矩阵可写为：将右端第二个矩阵记为：*第三章曲线拟合的最小二乘法*则系数矩阵可以表示为：此外，关于法方程组的右端项（常数项）：*第三章曲线拟合的最小二乘法*由得到*第三章曲线拟合的最小二乘法*最后可以将法方程组表示为：其中这样可以较快写出法方程组来。*第三章曲线拟合的最小二乘法*如果所求得最小二乘拟合函数为n次多项式，则：这时：误差：*第三章曲线拟合的最小二乘法*例3.1根据如下离散数据拟合曲线并估计误差x1234678y2367532解:step1:描点123456787654321*******step2:从图形可以看出拟合曲线为一条抛物线：step3:根据基函数给出法方程组§2多项式拟合函数*第三章曲线拟合的最小二乘法*由得到即又求得法方程组为：*第三章曲线拟合的最小二乘法*解得：求得拟合二次多项式函数误差为：先计算出拟合函数值：得到：或者：xi1234678p21.72724.00015.50026.22755.36373.77261.4087*第三章曲线拟合的最小二乘法*解：在坐标轴描点例3