二阶线性微分方程及其解法.docxVIP

n阶微分方程的一般形式为：

，

一般情况下，求阶微分方程的解是困难的.作为基础知识，本节仅讨论二阶常系数线性微分方程的求解方法.

二阶线性微分方程解的结构

如果二阶微分方程的未知函数及其导数都是一次项的，称为二阶线性微分方程.二阶线性微分方程的一般形式为

（7）

如果，则方程（7）成为

（7）

方程（7）称为二阶齐次线性微分方程，相应地，方程（7）称为二阶非齐次线性微分方程.

定理7.1齐次线性微分方程解的叠加性定理.设和是二阶齐次线性微分方程（7）的两个解，则

也是微分方程（7）的解，其中为任意常数.

证：将代入方程（7）的左端，可得

=

=0，

所以，也是微分方程（7）的解.□

定理7.1表明，二阶齐次线性微分方程的解可叠加.如果我们已知二阶齐次线性微分方程的两个解和，很容易得到含有任意常数的解，.如果解和有一定关系，那么，解中的任意常数可以合并成一个任意常数.因此，依据本章第一节的论述，它并不是二阶齐次线性微分方程的通解.那么，二阶齐次线性微分方程的两个解和要满足哪些条件才能使解成为二阶齐次线性微分方程的通解呢？为此，引入线性相关和线性无关的概念.

定义7.1设函数和是定义在某个区间I上的两个函数，如果存在两个不全为零的常数，使

在区间上恒成立，则称函数和在区间上是线性相关的，否则是线性无关的.

确定两个函数和在区间上是否线性相关的简易方法为：看这两个函数之比是否为常数.如果等于常数，则与线性相关；如果等于函数，则与线性无关.例如,则与线性相关.,则与线性无关.

定理7.2二阶齐次线性微分方程的通解结构定理.如果和是二阶齐次线性微分方程（7）的两个线性无关的特解，则

是微分方程（7）的通解，其中为任意常数.

例如,,,都是二阶齐次线性微分方程的解,是任意常数,则下列哪些选项表示微分方程的通解:

B.C.D.

E.F.G.

由二阶齐次线性微分方程的通解结构定理,可知:选项B,G为该方程的通解.

本定理可推广到更高阶齐次线性微分方程.

定理7.3非齐次线性微分方程的通解结构定理.如果是二阶非齐次线性微分方程（7）的一个特解，是该方程对应的二阶齐次线性微分方程（7）的通解，即余函数，则

是二阶非齐次线性微分方程（7）的通解.

证：将代入方程（7）的左端，可得

=

=，

所以，是微分方程（7）的解，又是二阶齐次线性微分方程（7）的通解，它含有两个任意常数，即解中含有两个任意常数，因此是二阶非齐次线性微分方程（7）的通解.□

上述定理和定义是求非齐次线性微分方程通解的理论基础.

根据上述定理和定义，求二阶非齐次线性微分方程通解的步骤为：

求对应的二阶齐次线性微分方程（7）的两个线性无关的特解和，构成对应的二阶齐次线性微分方程的余函数；

求二阶非齐次线性微分方程（7）的一个特解；则，二阶非齐次线性微分方程（7）的通解为.

上述步骤也适用于求更高阶非齐次线性微分方程的通解.

二阶常系数齐次线性微分方程

二阶常系数齐次线性微分方程的一般形式为

（7）

其中，为常数.根据定理7.2，要求二阶常系数齐次线性微分方程（7）的通解，只要求出该方程的任意的两个线性无关的特解和即可.注意到方程（7）的系数是常数，可以设想如果能找到一个函数，其导数，和之间只相差一个常数，该函数就可能是方程（7）的特解.而基本初等函数中的指数函数恰好具有这个性质.因此，设方程（7）的解为，其中为待定常数，将、和代入微分方程（7），则有

，即

（7）

我们称方程（7）为二阶常系数齐次线性微分方程（7）的特征方程，而称为二阶常系数齐次线性微分方程（7）的特征多项式，特征方程的根

称为二阶常系数齐次线性微分方程（7）的特征根.

因为微分方程（7）的特征方程（7）为二次代数方程，其特征根有三种可能的情况，下面分别讨论并给出微分方程（7）的通解.

（1）当时，特征方程有两个相异的实根和，因此，微分方程有两个特解由于，所以线性无关.故二阶常系数齐次线性微分方程（7）的通解为

（为任意常数）（7）

（2）当时，特征方程有重根，因此，微分方程只有一个特解.设是微分方程（7）另一个特解，求导得:，.将代入微分方