初中三年级上学期数学《坡度问题》教学课件.docx

24.4.3坡度问题

教学目标

【知识与技能】

1.熟练掌握坡度、坡角的定义，能运用解直角三角形的知识解决与坡度、坡角等有关的实际问题.

2.了解数形结合的思想方法，学会用代数方法出方程解决三角形问题；初步学会将某些实际问题通过数学建模转化为数学问题。

【过程与方法】

通过学习，掌握坡度、坡角的定义，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力,渗透数形结合的思想方法

【情感、态度与价值观】

使学生感知本节课与现实生活的密切联系,进一步认识到将数学知识运用于实践的意义.

重点难点

【重点】

解决有关坡度的实际问题.

【难点】

将实际问题中的数量关系转化为直角三角形中元素间关系进行解题。

教学过程

一、创设情境,导入新知

在现实生活中,经常会有建筑大坝、修地基等,它们的截面上底和下底不是同样宽的,侧面是有斜坡的,且倾斜程度是不一样的,这些在设计图纸上都要注明,以便施工时遵循.

如图,一段路基的横断面是梯形,高为4.2米,上底的宽是12.51米,路基的坡面与地面的倾角分别是32°和28°.求路基下底的宽.(精确到

不难发现我们首先要了解坡角和坡面的概念。

二、新授知识，问题探究

教材115页读一读

在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度.

如图24.4.5，

坡面的铅垂高度h和水平长度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i，即i=hl

坡度通常写成1:m的形式，如i=1:6.

坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，有i=h

显然，坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡.

练习

教师多媒体课件出示:

请同学们练一练：

1.斜坡的坡度是1：3，则坡角α=______度.

2.斜坡的坡角是45°，则坡比是_______.

3.斜坡长是12米,坡高6米,则坡比是_______.

答案：301:11：3

三、例题讲解

【例1】如图24.4.6，一段路基的横断面是梯形，高为4.2米，上底宽为12.51米，路基的坡面与地面的倾角分別是32°和28°，求路基下底的宽.（精确到0.1米）

分析路基横截面抽象成一个梯形，可以分解成两个直角三角形和一个矩形问题。

解：作DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别为点E、F.

由题意可知DE=CF=4.2,

EF=CD=12.51.

在Rt△ADE中，∵DEAE=4.2

在Rt△BCF中，同理可得BF=4.2

∴AB=AE+EF+BF

≈6.72+12.51+7.90

≈27.1(米).

答：路基下底的宽约为27.1米.

变式:

一水库大坝的横断面是梯形ABCD，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求坝底AD与斜坡AB的长度（精确到0.1m）.

请仔细审题，看看此题和刚才的题有何区别？刚才的例题是已知坡角，现在已知坡比，能解决这个变式练习吗？

方法归纳

利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：

（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题，也就是建立适当的数学模型）；

（2）根据条件的特点，选用适当锐角三角形函数，运用直角三角形的有关性质，解直角三角形；

（3）得到数学问题的答案；

（4）得到实际问题的答案．

解决问题中，最关键的解题工具：锐角三角函数和直角三角形的相关性质

四、巩固练习

1.拦水坝横断面如图所示，迎水坡AB的坡比是1∶3，坝高BC＝10m，则坡面AB的长度是()

A．15mB．203mC．103mD．20m

【答案】D

2.如图某拦河坝截面的原设计方案为：AH∥BC，坡角∠ABC＝74°，坝顶到坝脚的距离AB＝6m．为了提高拦河坝的安全性，现将坡角改为55°，由此，点A需向右平移至点D，请你计算AD的长(精确到0.1m)．

解：过A作AE⊥BC于E，过D作DF⊥BC于F.

在Rt△ABE中，sin∠ABE＝eq\f(AE,AB)，∴AE＝ABsin∠ABE＝6sin74°≈5.77.cos∠ABE＝eq\f(BE,AB)，

∴BE＝ABcos∠ABE＝6cos74°≈1.65.

∵AH∥BC，∴DF＝AE≈5.77.在Rt△BDF中，tan∠DBF＝eq\f(DF,BF)，

∴BF＝eq\f(DF,tan∠DBF)≈eq\f(5.77,tan55°)≈4.04.

∴AD＝EF＝BF－BE≈4.04－1.65≈2.4(m)．

五、课堂小结

本节课,我们学习了什么内容?

1.坡角是坡面与水平面间的夹角.坡度

2.坡度与坡角的关系是坡度越大，坡角就越大，坡面就越陡；

坡比=tanα??????(