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2024年全国硕士研究生考试《数学三》真题及答案

[单选题]1.设函数，则f（x）()。

A.在x＝1，x＝－1处都连续

B.在x＝1处连续，x＝－1处不连续

C.在x＝1，x＝－1处都不连续

D.在x＝1处不连续，x＝－1处连续

正确答案：D

参考解析：根据题意，可得：

由于，，所以在x＝1处不连续。

由于，，所以在x＝－1处连续。

故选择D项。

[单选题]2.设，k为整数，则I的值()。

A.只与a有关

B.只与k有关

C.与a、k均有关

D.与a、k均无关

正确答案：B

参考解析：由于kπ是｜sinx｜的周期，所以。

因此，该积分值只与k有关。故选择B项。

[单选题]3.设f（x，y）是连续函数，则()。

A.

B.

C.

D.

正确答案：A

参考解析：积分区域为D：，sinx≤y≤1，故交换积分次序可得：

故选择A项。

[单选题]4.设幂级函数的和函数为ln（2＋x），则()。

A.

B.

C.

D.

正确答案：A

参考解析：方法一：

所以，。

当n＞0，。

所以，。

故选择A项。

方法二：

S（0）＝C＝ln（2＋0）＝ln2

所以，。

所以，。

故选择A项。

[单选题]5.设二次型在正交变换下可化成，则二次型f的矩阵A的行列式与迹分别为()。

A.－6，－2

B.6，－2

C.－6，2

D.6，2

正确答案：C

参考解析：由题意可知，A的特征值为1，－2，3。

因此，可得，，故选择C项。

[单选题]6.设A为3阶矩阵，，若，则A＝()。

A.

B.

C.

D.

正确答案：C

参考解析：由，则可得：

故选择C项。

[单选题]7.设矩阵，Mij表示A的i行j列元素的余子式。若，且－M21＋M22－M23＝0，则()。

A.a＝0或

B.a＝0或

C.b＝1或

D.b＝－1或

正确答案：B

参考解析：由－M21＋M22－M23＝0，可得A21＋A22＋A23＝0。

则，于是b＝a＋1。

，可得a＝0或。

故选择B项。

[单选题]8.设随机变量X的概率密度为，则X的三阶中心距E（X－EX）3＝()。

A.

B.0

C.

D.

正确答案：B

参考解析：根据题意，可得：

故选择B项。

[单选题]9.随机变量X、Y相互独立，其中X～N（0，2），Y～N（－1，1），记p1＝P{2X＞Y}，p2＝P{X－2Y＞1}，则()。

A.

B.

C.

D.

正确答案：B

参考解析：Y－2X～（－1，32），所以。

，所以。

因为Φ（x）单增，所以。

故选择B项。

[单选题]10.设随机变量X，Y相互独立，且均服从参数为λ的指数分布，令Z＝｜X－Y｜，则下列随机变量与Z同分布的是()。

A.X＋Y

B.

C.2X

D.X

正确答案：D

参考解析：令Z＝｜X－Y｜，则FZ（z）＝P{Z≤z}＝P{｜X－Y｜≤z}。

当z＜0时，FZ（z）＝0。

当z≥0时，

所以，。显然Z＝｜X－Y｜与X同分布。故选择D项。

[问答题]1.设平面有界区域D位于第一象限，由曲线，xy＝3与直线，y＝3x围成，计算。

正确答案：详见解析

参考解析：积分区域的图像关于y＝x对称，由轮换对称性可得：

因此，有：

[问答题]2.设函数z＝z（x，y）由方程z＋ex－yln（1＋z2）＝0确定，求。

正确答案：详见解析

参考解析：将（x，y）＝（0，0）代入原方程，可得z（0，0）＝－1。

原方程对x求偏导可得：，从而。

继续对x求偏导可得：，从而。

原方程对y求偏导可得：，从而。

继续对y求偏导可得：，从而。

综上，。

[问答题]3.设t＞0，平面有界区域D由曲线y＝xe－2x与直线x＝t，x＝2t及x轴围成，D的面积为S（t），求S（t）的最大值。

正确答案：详见解析

参考解析：根据题意，可得：

则S′（t）＝－te－2t（1－4e－2t），令S′（t）＝0，可得t＝ln2。

因为t∈（ln2－δ，ln2）有S′（t）＞0，t∈（ln2，ln2＋δ）有S′（t）＜0。

所以t＝ln2为S（t）的极大值点即最大值点。

故最大值为：。

[问答题]4.设函数f（x）具有2阶导数，且f′（0）＝f′（1），｜f″（x）｜≤1，证明：

（1）当x∈（0，1）时，；

（2）。

正确答案：详见解析

参考解析：（1）证明：令g（x）＝f（0）（1－x）＋f（1）x。

令。

因为F（0）＝0，F（1）＝0。

且F″（x）＝f″（x）＋1≥0。（｜f″（x）｜≤1）

所以F（x）为凹函数，因此F（x）≥0。

所以。

令。

因为F（0）＝0，F（1）＝0。

且F″（x）＝f″（x）－1≤0。（｜f″（x）｜≤1）

所以F（x）为凸函数，因此F（x）≥0。

所以。

综上，。

（2）由（1）中

由第（1）中