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高中数学排列组合知识总结--第1页

排列组合问题的解题策略

排列组合综合问题的一般解题规律:

1）使用“分类计数原理”还是“分步计数原理”要根据我们完成某件事时采

取的方式而定：“分类”表现为其中任何一类均可独立完成所给的事件，所以分类

计数原理强调完成一件事情的几类办法互不干扰，相互独立，不论哪类办法都能将

事情单独完成；而“分步”必须把各步骤均完成才能完成所给事件，所以分步计数

原理强调各步骤缺一不可，需要依次完成所有步骤才能完成这件事，步与步之间互

不影响，即前步用什么方法不影响后面的步骤采用的方法。

2）排列与组合定义相近，它们的区别在于是否与顺序有关。

3）处理排列、组合综合问题，一般思想是先选元素（组合），后排列，按元

素的性质进行“分类”和按事件的过程“分步”，始终是处理排列、组合问题的基

本原理和方法，掌握分类和分步的基本技能，达到分类标准明确，分步层次清楚，

不重不漏。

总之，解决排列组合问题的基本规律，即：分类相加，分步相乘，排组分

清，加乘明确；有序排列，无序组合；正难则反，间接排除等。

下面介绍几种常用的解题方法和策略。

一、特殊元素——优先考虑法。

对于特殊元素（位置）的排列组合问题，一般先考虑特殊，再考虑其他。

例1、用0，2，3，4，5，五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶

数共有（B）。

A．24个B.30个C.40个D.60个

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例2．(1995年上海高考题)1名老师和4名获奖学生排成一排照像留念，

若老师不排在两端，则共有不同的排法种．（72

种）

二.正难则反——总体排除法。

对于含“至多”或“至少”的排列组合问题，若直接解答多需进行复杂讨

论，可以考虑“总体去杂”，即将总体中不符合条件的排列或组合删除掉，从而计

算出符合条件的排列组合数的方法．

例3、从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要甲型与乙

型电视机各一台，则不同的取法共有()种．故选C．

A．140种B．80种C．70种D．35种

例4.(1996年全国高考题)正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为

顶点的三角形共有多少个.

解：从7个点中取3个点的取法有种，但其中正六边形的对角线所含的中心

和顶点三点共线不能组成三角形，有3条，所以满足条件的三角形共有35－3＝32

个.

三．相邻问题——用捆绑法。

在解决几个元素要求相邻的问题时，先整体考虑，将相邻的元素“捆绑”起

来，看作一“大”元素与其余元素排列，然后再考虑大元素内部各元素间顺序。

例5、7名学生站成一排，甲、乙必须站在一起有多少不同排法？

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例6、有8本不同的书；其中数学书3本，外语书2本，其它学科书3本．

若将这些书排成一列放在书架上，让数学书排在一起，外语书也恰好排在一起的排

法共有()种．(A55A33A22=1440(种))

四．不相邻问题——用插空法”。

不相邻问题是指要求某些元素不能相邻，由其它元素将它