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高中数学平面向量数量积的坐标表示(知识讲解与典型例题)苏教版必修4--第1页

平面向量数量积的坐标表示（知识讲解与典型例题）

本周重点：平面向量数量积的坐标表示；两个向量垂直的充要条件。

本周难点：利用向量的数量积解决具体问题。

本周内容：

上一节我们学习了平面向量的数量积及运算律，而向量是可以用坐标来表示的，那么向量数

量积是如何用坐标表示呢？下面我们来学习这部分知识。

我们给出两个非零向量（用坐标给出），我们知道坐标是与从原

点出发的向量一一对应。如图不妨设：

则有A、B两点坐标为(x,y),(x,y)，又设x,y轴上的单位向量为，

1122

则有，

∵是互相垂直的单位向量，

∴，，

则

也就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和（结果是数量），即

，

若

则，

∵，

∴∴，

上图中A(x,y),B(x,y),

1122

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则

则。

这就是我们已经使用过的平面内两点间的距离公式（不用向量你会推导吗）。

上图中若设∠AOB=α，则，

即

。

由此可得到两个向量的夹角。特别地，当α=90°时，cosα=0，即xx+yy=0。

1212

由此知：垂直的充要条件是xx+yy=0。

1212

这个充要条件在今后解决问题中十分重要。

下面我们通过例题用坐标的形式再一次验证。

例1．已知：。

（1）求：；

（2）求：；

（3）求：，

（4）求：

解：（1）

由此可见证。（严格证明需要把的坐标一般化，但方法是一样的。）

（2）

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（3）

。

由此可证：