山东省齐鲁名师联盟2025届高三上学期第一次诊断考试数学试题.docx

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齐鲁名师联盟2025届高三年级第一次诊断考试

数 学

本试卷共4页，19题。满分150分，考试用时120分钟。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若集合，，，则

A． B． C． D．

2．函数在区间上的最大值是

A． B． C．16 D．9

3．若正数x，y满足，则的最小值为

A．2 B． C．3 D．

4．从数字1，2，3中随机取一个数字，取到的数字为n（，2，3），再从数字1，，n中随取一个数字，则第二次取到数字2的概率为

A． B． C． D．

5．小明将1，4，0，3，2，2这六个数字的一种排列设为自己的六位数字的银行卡密码，若两个2之间只有一个数字，且1与4相邻，则可以设置的密码种数为

A．48 B．32 C．24 D．16

6．令，则当时，a除以15所得余数为

A．4 B．1 C．2 D．0

7．不等式恒成立，则实数a的最大值为

A． B． C．1 D．2

8．已知函数（a，）没有极值点，则的最大值为

A． B． C． D．

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9．数学中蕴含着无穷无尽的美，尤以对称美最为直观和显著.回文数是对称美的一种体现，它是从左到右与从右到左读都一样的正整数，如22，121，3443，94249等，显然两位回文数有9个：11，22，33，…，99；三位回文数有90个：101，111，121，…，191，202，…，999.下列说法正确的是

A．四位回文数有45个 B．四位回文数有90个

C．2n（）位回文数有个 D．（）位回文数有个

10．已知为随机试验的样本空间，事件A，B满足，，则下列说法正确的是

A．若，且，，则

B．若，且，，则

C．若，，则

D．若，，，则

11．已知函数（a，b，），是的导函数，则

A．“”是“为奇函数”的充要条件

B．“”是“为增函数”的充要条件

C．若不等式的解集为，则的极小值为

D．若，，是方程的两个不同的根，且，则或

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12．已知集合，，若“”是“”的必要不充分条件，则实数m的取值范围为．

13．已知函数（其中且），若存在，使得，则实数a的取值范围是．

14．切比雪夫不等式是19世纪俄国数学家切比雪夫（1821.5～1894.12）在研究统计规律时发现的，其内容是：对于任一随机变量X，若其数学期望和方差均存在，则对任意正实数，有.根据该不等式可以对事件的概率作出估计.在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”组成的序列，现连续发射信号n次，每次发射信号“0”和“1”是等可能的.记发射信号“1”的次数为随机变量X，为了至少有98%的把握使发射信号“1”的频率在区间内，估计信号发射次数n的值至少为．

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15．（13分）

设函数，其中.

（1）若命题“，”为假命题，求实数t的取值范围；

（2）若函数在区间内恒成立，求实数t的取值范围.

16．（15分）

已知函数.

（1）求函数的单调区间和极值；

（2）若不等式在上恒成立，求实数a的取值范围.

17．（15分）

某校举行篮球比赛，规则如下：甲、乙每人投3球，进球多的一方获得胜利，胜利1次，则获得一个积分，平局或者输方不得分.已知甲和乙每次进球的概率分别是和p，且每人进球与否互不影响.

（1）若，求乙在一轮比赛中获得一个积分的概率；

（2）若，且每轮比赛互不影响，乙要想至少获得3个积分且每轮比赛至少要超甲2个球，从数学期望的角度分析，理论上至少要进行多少轮比赛？

18．（17分）

已知函数（）．

（1）在定义域内单调递减，求a的范围；

（2）讨论函数在定义域内的极值点的个数；

（3）若函数在处取得极值，，恒成立，求实数b的取值范围．

19．（17分）

在信息理论中，X和Y是两个取值相同的离散型随机变量，分布列分别为：，，，，，2，…，n，．

定义随机变量X的信息量，X和Y的“距离”．

（1）若，求；

（2）已知发报台发出信号为0和1，接收台收到信号只有0和1．现发报台发出信号为0的概率为p（），由于通信信号受到干扰，发出信号0接收台收到信号为0的概率为q，发出信号1接收台收到信号为1的概率为q（）．

（ⅰ）若