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柯西不等式及其应用
班级______姓名_____
【问题重现】
人教版必修二37页拓广探索第16题有如下问题:
【知识梳理】
1.二维形式的柯西不等式
2.二维形式的柯西不等式的变式
3.二维形式的柯西不等式的向量形式
注:有条件要用;没有条件,创造条件也要用。比如,对,并不是不等式的形状,但变成就可以用柯西不等式了。
4.扩展:,当且仅当时,等号成立.
【典型例题】
类型一:利用柯西不等式求最值
【例1】实数满足,求的最大值与最小值.
【练习】已知实数满足,求的最大值与最小值.
【例2】.已知正实数a,b满足,则的最小值为___________.
【例3】设2x+3y+5z=29,求函数的最大值.
【例4】.若实数x、y、z满足(a为常数),求的最小值.
【练习1】.已知,且满足,求的最小值.
【练习2】.设a,b,c均为正数,且,则之最小值为________
类型二:利用柯西不等式证明不等式
【例5】例1.设为正数且各不相等,求证:.
【典例6】设,且.
(1)求的最小值;
(2)若成立,证明:或.
【练习】.已知a,b,c是正实数,且.求证:
(1);
(2).
【练习】.已知,且,证明:
(1);
(2)若,则.
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