北师版高考总复习一轮文科数学精品课件 第3章 导数及其应用 解答题专项一 第1课时 利用导数证明不等式.ppt

第1课时利用导数证明不等式第三章解答题专项一

考情分析:导数的综合应用是高考考查的重点内容,也是高考压轴题之一,近几年高考命题的趋势是稳中求变、变中求新、新中求活,纵观近几年的高考题,导数的综合应用题考查多个核心素养以及综合应用能力,有一定的难度,一般放在解答题的最后两个题目位置,对数学抽象、数学运算、逻辑推理等多个数学核心素养都有较深入的考查.

考向1不含参数的一元函数不等式的证明例1设函数,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=e(x-1)+2.(1)求a,b;(2)证明:f(x)1.

当x∈(-∞,0)时,d(x)0,故d(x)在(-∞,0)上是减少的;当x∈(0,+∞)时,d(x)0,故d(x)在(0,+∞)上是增加的.所以d(x)min=d(0)=0,所以d(x)≥0,即ex≥x+1,x∈R(当且仅当x=0时取等号).

先证ex≥ex,x∈R.设d(x)=ex-ex,则d(x)=ex-e,令d(x)=0,则x=1.当x∈(-∞,1)时,d(x)0,故d(x)在(-∞,1)上是减少的;当x∈(1,+∞)时,d(x)0,故d(x)在(1,+∞)上是增加的.所以d(x)min=d(1)=0,故d(x)≥0,即ex≥ex,x∈R(当且仅当x=1时取等号).

规律方法利用导数证明不等式f(x)g(x)的基本方法

对点训练1(2022山西吕梁一模)已知函数f(x)=ex-x-1.(1)求函数f(x)的单调区间和极值;(2)当x≥0时,求证:f(x)+x+1≥x2+cosx.

(1)解:函数f(x)的定义域为R,由f(x)=ex-x-1,得f(x)=ex-1,令f(x)=ex-10,得x0,f(x)在(0,+∞)上是增加的;令f(x)=ex-10,得x0,f(x)在(-∞,0)上是减少的;即函数f(x)的极小值为f(0)=0,f(x)没有极大值.

考向2含参数的一元函数不等式的证明例2(2022河南焦作一模)已知函数f(x)=ex-k(lnx+1),k∈R.(1)若x=是f(x)的极值点,求曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程;(2)证明:当k∈(0,e)时,f(x)0.

规律方法含参数的单元函数不等式的证明的一般思路是:首先利用参数的范围,通过放缩法把参数消去,将问题转化为单元函数不等式的证明,再利用证明单元函数不等式的方法证明.

对点训练2(2022陕西咸阳一模)已知函数f(x)=3lnx+1+.(1)求函数f(x)的图像在点(1,f(1))处的切线方程;(2)若0a≤1,g(x)=f(x)-2ax,证明:当x∈(0,1)时,g(x)≥2-3ln2.(1)解:,函数f(x)的图像在点(1,f(1))处的切线斜率k=f(1)=3-1=2,又f(1)=2,∴切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x.故函数f(x)的图像在点(1,f(1))处的切线方程为y=2x.

考向3双元函数不等式的证明例3(2022山东淄博一模)已知函数f(x)=ln(x+1)-ax+1(a∈R).(1)当a0时,设函数f(x)的最大值为h(a),证明:h(a)≥1;

规律方法证明双元函数不等式的方法

对点训练3已知函数f(x)=2ax-lnx,其中a∈R.(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)记函数f(x)的导函数为f(x),当a0时,若x1,x2(0x1x2)满足f(x1)=f(x2),证明:f(x1)+f(x2)0.

本课结束