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卷积型伽辽金法求解任意边界梁的动力学问题

本文以卷积型伽辽金法为基础，探讨了其在任意边界梁动力学问

题中的应用。首先介绍了卷积型伽辽金法的基本原理和优势，然后详

细阐述了其在任意边界梁动力学问题中的具体应用，包括边界条件的

处理、频率响应函数的计算和动态响应的求解等。最后，通过一个实

例验证了卷积型伽辽金法在任意边界梁动力学问题中的有效性和实

用性。

关键词：卷积型伽辽金法；任意边界梁；动力学问题；频率响应

函数；动态响应

1.引言

任意边界梁动力学问题是结构工程领域中的一个重要课题，其研

究对于提高结构工程的安全性和可靠性具有重要意义。在这类问题中，

我们需要求解结构在外界作用下的动态响应，以评估结构的稳定性和

安全性。然而，由于梁的边界条件和载荷条件通常是复杂的，因此求

解任意边界梁的动力学问题是一个具有挑战性的任务。

近年来，卷积型伽辽金法在结构工程领域中得到了广泛应用。该

方法具有高效、精确、通用等优势，能够很好地解决任意边界梁动力

学问题。本文就是基于卷积型伽辽金法，探讨其在任意边界梁动力学

问题中的应用。

2.卷积型伽辽金法的基本原理

卷积型伽辽金法是一种基于积分变换的方法，其基本思想是将结

构的位移函数表示为伽辽金函数的线性组合形式，然后利用卷积积分

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的性质将结构的动态响应计算转化为频率响应函数的计算。卷积型伽

辽金法的基本方程组如下所示：

$$

begin{aligned}

int_{0}^{L}G(x,s)u(s,omega)ds=frac{sin(omega

L)}{omega}f(x,omega)

u(x,t)=frac{1}{2pi}int_{-infty}^{+infty}U(x,omega)

e^{iomegat}domega

end{aligned}

$$

其中，$G(x,s)$是伽辽金函数，$u(x,t)$是结构在时间$t$时刻

$x$处的位移，$f(x,omega)$是结构在频率$omega$时刻$x$处的外力，

$U(x,omega)$是结构在频率$omega$时刻$x$处的频率响应函数。

卷积型伽辽金法的优势在于，它能够将结构的动态响应计算转化

为频率响应函数的计算，从而避免了时间域计算过程中的数值误差和

稳定性问题。此外，卷积型伽辽金法还具有通用性和高效性等优点，

能够适用于各种结构形式和边界条件。

3.卷积型伽辽金法在任意边界梁动力学问题中的应用

任意边界梁动力学问题中，我们需要考虑的是梁的边界条件和载

荷条件，这是求解问题的难点。卷积型伽辽金法通过将梁的位移函数

表示为伽辽金函数的线性组合形式，将梁的边界条件和载荷条件转化

为对伽辽金函数的约束条件，从而简化了问题的求解过程。

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具体来说，卷积型伽辽金法在任意边界梁动力学问题中的应用包

括以下几个方面：

3.1边界条件的处理

在任意边界梁动力学问题中，梁的边界