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第4讲简易方程（列方程解决问题）

知识概述

整除是指整数a除以整数b(0除外)除得的商正好是整数而余数是零，我们就说a能被b整

除(或说b能整除a)，记作b|a，读作“b整除a”或“a能被b整除”。它与除尽既有区別又

有联系。除尽是指数a除以数b(b≠0)所得的商是整数或有限小数而余数是零时，我们就说a

能被b除尽(或说b能除尽a)。因此整除与除尽的区別是:整除是指被除数、除数以及商都是

整数，而余数是零;除尽并不局限于整数范围内，被除数、除数以及商可以是整数，也可以是

有限小数，只要余数是零就可以了。它们之间的联系就是整除是除尽的特殊情况。

整除的一些性质为：

(1)如果a与b都能被c整除，那么a+b与a-b也能被c整除。

(2)如果a能被b整除，c是任意整数，那么积ac也能被b整除。

(3)如果a同时被b与c整除，并且b与c互质，那么a一定能被积bc整除。反过来也成立。

有关数的整除特征：

(1)能被2整除的数的特征是:个位数字为0，2，4，6，8的整数。

(2)能被5整除的数的特征是:个位数字为0，5的整数

(3)能被2，5整除的数的特征是:个位数字为0的整数。

(4)能被3(或9)整除的数的特征是:各个数位上的数字之和是3(或9)的倍数的整数。

(5)能被2，3，5整除的数的特征是:个位数字为0，且各个数位上的数字之和是3的倍数的整

数。

(6)能被4，25整除的数的特征是:末两位能被4，25整除的整数。如2168，因为68能被4整

除(或者说68是4的倍数)，我们就说2168能被4整除，但不能被25整除。而如2175就能被

25整除，但不能被4整除。而2100既能被25整除，也能被4整除。

(7)能被8，125整除的数的特征是:末三位能被8，125整除的整数。如23625，因为625是125

的倍数，不是8的倍数，所以23625能被125整除，而不能被8整除。

(8)能被11整除的数的特征是:这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差

(大减小)是11的倍数。

例1、在□内填上适当的数字，使:

(1)34□□能同时被2，3，4，5整除;

(2)7□36□能被24整除

练习1、

1、五位数8□41□中的□内填什么数字，才能被3整除且含有约数5，写出这些数。

2、在358后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能被3，4，5整除，且使这个数值尽可

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能小。

3、既能被2整除，又是3的倍数，还有约数5的最小两位数是多少?最大的两位数是多少?

例2、四位数7□2□能同时被2，3，5整除，这样的四位数有几个?分别是多少

练习2、

1、个位数是5，且能被9整除的三位数共有多少个?

2、求一个首位数字为5的最小六位数，使这个数能被9整除，且各位数字均不相同。

3、四位数6a3b能被2，3，5整除，这样的四位数有几个?分别是多少

例3、有一个两位数不能彼3，6，9整除，加上8后就能够彼3，6，9整除了，请问这个两位

数最大是多少?

练习3、

1、已知一个五位数是154ab，能被72整除，求a与b的积。

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