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2013-2014数值分析

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数值分析

TOC\o1-3\h\z\u第一章绪论 1

第二章函数插值 2

第三章函数逼近 5

第四章数值积分与数值微分 10

第五章解线性方程组的直接解法 12

第六章解线性方程组的迭代解法 16

第七章非线性方程求根 19

第九章常微分方程初值问题的数值解法 21

第一章绪论

1.1要使的相对误差不超过0.1%，应取几位有效数字？

解：

的首位数字。

设有n位有效数字，由定理知相对误差限

令，

解得，即需取四位有效数字.

1.2序列满足关系式，若，计算到，误差有多大？这个算法稳定吗？

解：，于是

，一般地，因此计算到其误差限为，可见这个计算过程是不稳定的。

1.3计算球的体积，要使相对误差限为1%，问测量半径R时允许的相对误差限是多少？

解：

，即测量半径R时允许的相对误差限是。

第二章函数插值

2.1、利用如下函数值表构造差商表，并写出牛顿插值多项式。

X

1

3/2

0

2

f(x)

3

13/4

3

5/3

解：由函数值表建立差商表如下：

x

f(x)

一阶差商

二阶差商

三阶差商

1

3/2

0

2

3

13/4

3

5/3

1/2

1/6

-2/3

1/3

-5/3

-2

进而得牛顿多项式为

2.2、已知试选用合适的插值节点利用Lagrange二次插值多项式计算的近似值，使之精度尽可能高。

解：依据误差估计式，选为插值节点，拉格朗日插值基函数为

二次插值多项式为

L2(x)=f(x0)＋f(x1)＋f(x2)

＝＋2＋3

＝

于是

f(-0.5)L2(－0.5)=1l0(－0.5)+2l1(－0.5)+3l2(－0.5)

=

2.3、已知函数的如下函数值表，利用插值法计算的近似值。

x

0.4

0.5

0.6

Sinx

0.38942

0.47943

0.56464

解：考虑到节点等距分布，可使用牛顿向前插值公式。

取，，。

建立如下差分表：

x

Sin(x0

一阶差分

二阶差分

0.4

0.38942

0.09001

0.5

0.47943

-0.00480

0.08521

0.6

0.56464

利用插值公式：

，

有

=0.38942+0.090010.2351-

=0.41101。

2.4、求f(x)=在[a,b]上的分段线形插值函数，并估计误差。

解：设采用节点,

定义

在[]上的线性插值函数

分段线性插值函数

误差估计：

而

2.5、已知单调连续函数y=f(x)在如下采样点处的函数值：

1.0

1.4

1.8

2.0

-2.0

-0.8

0.4

1.2

求方程在[1，2]内根的近似值，使误差尽可能小。

解对y=f(x)的反函数进行三次插值，插值多项式为

+

+

+

=,

于是有

。

2.6利用差分的性质证明1+2+3+……+=(+1)

证明定义函数=1+2+3+……+，对任意建立差分如下：

可见对任意均有为常数1。有差分和导数的关系知为二次多项式。

利用=1,=3,=6作二次插值多项式，得到Newton向前插值公式

=

第三章函数逼近

3.1证明定义于内积空间H上的函数是一种范数。

证明：

正定性当且仅当时；

齐次性设为数域K上任一数

三角不等式；

于是有

故是H上的一种范数。

3.2求，在空间上的最佳平方逼近多项式，并给出误差。

解：

第一步：构造内积空间上的一组正交基，其中内积：

第二步：计算的二次最佳平方逼近多项式

从第一步已经知道，利用公式得：

误差为：

3.3确定参数，使得积分

取得最小值。

解：

定义内积，其中

，切比雪夫多项式关于此内积正交，其前三项为：

并且有

利用正交基最佳平方逼近多项式公式得二次最佳平方逼近多项式有：

由最佳平方逼近的定义知，当时，积分取最小值，此时参数为：

3.4已知函数值表

x

-2-1012

y

01210

试用二次多项式拟合这组数据。

解：计点-2、-1、0、1、2分别为，定义离散内积

法方程组系数矩阵

法方程组右端项

求解法方程组GC=F得到

这样求得拟和多项式为

3.5求在上的最佳平方逼近多项式。

解：由于Legendre多项式在上带权正交。令，则

先求在上的一次最佳平方逼近多项式。

。将代入就得到在上的一次