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贵州省湄潭县湄江中学2024-2025学年高三二模模拟考试数学试题
注意事项
1.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.
2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.
3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.
4.作答选择题,必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.作答非选择题,必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效.
5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.若集合,,则=()
A. B. C. D.
2.已知关于的方程在区间上有两个根,,且,则实数的取值范围是()
A. B. C. D.
3.双曲线:(),左焦点到渐近线的距离为2,则双曲线的渐近线方程为()
A. B. C. D.
4.,则与位置关系是()
A.平行 B.异面
C.相交 D.平行或异面或相交
5.要得到函数的图象,只需将函数的图象上所有点的()
A.横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),再向左平移个单位长度
B.横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),再向右平移个单位长度
C.横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向左平移个单位长度
D.横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向右平移个单位长度
6.设函数在上可导,其导函数为,若函数在处取得极大值,则函数的图象可能是()
A. B.
C. D.
7.若x∈(0,1),a=lnx,b=,c=elnx,则a,b,c的大小关系为()
A.b>c>a B.c>b>a C.a>b>c D.b>a>c
8.已知正三棱锥的所有顶点都在球的球面上,其底面边长为4,、、分别为侧棱,,的中点.若在三棱锥内,且三棱锥的体积是三棱锥体积的4倍,则此外接球的体积与三棱锥体积的比值为()
A. B. C. D.
9.盒子中有编号为1,2,3,4,5,6,7的7个相同的球,从中任取3个编号不同的球,则取的3个球的编号的中位数恰好为5的概率是()
A. B. C. D.
10.已知函数(e为自然对数底数),若关于x的不等式有且只有一个正整数解,则实数m的最大值为()
A. B. C. D.
11.已知函数,则的最小值为()
A. B. C. D.
12.已知,则p是q的()
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.“北斗三号”卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆.设地球半径为R,若其近地点?远地点离地面的距离大约分别是,,则“北斗三号”卫星运行轨道的离心率为__________.
14.如图,从一个边长为的正三角形纸片的三个角上,沿图中虚线剪出三个全等的四边形,余下部分再以虚线为折痕折起,恰好围成一个缺少上底的正三棱柱,而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个正三棱柱的上底,则所得正三棱柱的体积为______.
15.正方体的棱长为2,是它的内切球的一条弦(我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦),为正方体表面上的动点,当弦的长度最大时,的取值范围是______.
16.如图,在矩形中,,是的中点,将,分别沿折起,使得平面平面,平面平面,则所得几何体的外接球的体积为__________.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)已知双曲线及直线.
(1)若l与C有两个不同的交点,求实数k的取值范围;
(2)若l与C交于A,B两点,O是原点,且,求实数k的值.
18.(12分)若关于的方程的两根都大于2,求实数的取值范围.
19.(12分)设函数,.
(Ⅰ)讨论的单调性;
(Ⅱ)时,若,,求证:.
20.(12分)某公司打算引进一台设备使用一年,现有甲、乙两种设备可供选择.甲设备每台10000元,乙设备每台9000元.此外设备使用期间还需维修,对于每台设备,一年间三次及三次以内免费维修,三次以外的维修费用均为每次1000元.该公司统计了曾使用过的甲、乙各50台设备在一年间的维修次数,得到下面的频数分布表,以这两种设备分别在50台中的维修次数频率代替维修次数发生的概率.
维修次数
2
3
4
5
6
甲设备
5
10
30
5
0
乙设备
0
5
15
15
15
(1)设甲、乙两种设备每台购买和一年间维修的花费总额分别为和,求和的分布列;
(2)若以数学期望为决策依据,希望设备购买和一年间维修的花费
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