线性代数--第二章.ppt

第二章矩阵及其初等变换主要内容矩阵的概念；矩阵的基本运算及其性质；逆矩阵及其性质、可逆条件、求法；分块矩阵及其运算；矩阵的初等变换及初等矩阵；矩阵的秩及运算§1矩阵的概念§1矩阵的概念1.1矩阵的概念1.1矩阵的概念1.2特殊矩阵2.1矩阵的概念1.3矩阵举例1.3矩阵举例1.3矩阵举例§2矩阵的基本运算2.1矩阵的加法2.1矩阵的加法2.2数与矩阵的乘法（数乘矩阵）2.3矩阵的乘法2.3矩阵的乘法2.3矩阵的乘法2.3矩阵的乘法2.3矩阵的乘法2.3矩阵的乘法2.3矩阵的乘法2.3矩阵的乘法方阵的多项式小结课后思考题复习上节课内容小结复习上节课内容§3逆矩阵§4分块矩阵§5矩阵的初等变换和初等矩阵矩阵的初等变换源于解线性方程组的3类同解变换，是研究矩阵的有力工具，很多计算问题、理论问题可通过初等变换化难为易，得到解决。进一步利用初等列变换可得:矩阵的初等变换与初等矩阵的关系§6矩阵的秩矩阵的秩是矩阵的一个重要的数字特征，在线性方程组的理论研究中具有重要的作用。§6矩阵的秩第二章矩阵及其初等变换§6矩阵的秩第二章矩阵及其初等变换完方法一：寻找矩阵的最高阶非零子式.例32求矩阵A和B的秩.先计算A的三阶子式再计算二阶子式，所以R(A)=2.在B中，显然所有的4阶子式全为零，又所以R(B)=3.行阶梯形矩阵的秩等于非零行的行数.6.2矩阵的秩的求法解：猜想：矩阵经初等变换秩不变如果猜想成立，则化矩阵为阶梯形来求秩是方便的定理2.6任何矩阵经初等变换后，其秩不变.Proof推论1由定理2.3，任一m×n非零矩阵A=(aij)等价于r是A的秩矩阵A的标准形是唯一的.定理2.76.2矩阵的秩的求法方法二：用初等变换，将矩阵化为行阶梯形矩阵由定理2.6显然成立由推论1可知所以,A与B等价.例33求矩阵A=的秩，并求一个最高阶非零子式.解：要有规律说明A0中有3阶非零子式即为所求6.2矩阵的秩的求法例34设解：作为方程组AX=b无解6.2矩阵的秩的求法求矩阵A及矩阵B=(A，b)的秩.若为矩阵，则若，则若可逆，则若A为n阶可逆矩阵，则6.3矩阵的秩的性质若则ProofProof证明:由矩阵初等变换的性质，可知存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q,使得PAQ=(Em0）.由于R(A)=m，即A的标准形为（Em0）.两边分别左乘P-1，右乘Q-1，得A=P-1(Em0)Q-1则例35若A是m×n矩阵，且R(A)=m，证明存在n×m矩阵B，使得AB=Em.(教材P72,例3)6.3矩阵的秩的性质例36设已知，求与的值.解：因为R(A)=2，故即已知矩阵的秩，讨论其中参数的值的题目.如P73EX2.一般有两个解题途径.一是利用行列式，二是用初等变换.当R(A)=2时，A的3阶子式全为零，从而可以计算出参数的值.下面用初等变换解答此题.6.3矩阵的秩的性质例37设A为n阶矩阵，证明证:因为6.3矩阵的秩的性质线性代数LinearAlgebra第二章矩阵及其初等变换矩阵的初等变换和矩阵等价初等矩阵用矩阵的初等变换求逆矩阵引例