线性代数第二章.ppt

即又因为则解得,所以即AB=BA=E,如上求逆矩阵的方法对于方阵的阶较高时显然是不可行的,必须寻求可行而有效的方法.则证明:若A可逆,则有A-1,使得AA-1=E.定理1:矩阵A可逆的充要条件是|A|?0,且其中A*为矩阵A的伴随矩阵.故,|A||A-1|=|E|=1,所以,|A|?0.由伴随矩阵的性质:AA*=A*A=|A|E,知当|A|?0时,按逆矩阵的定义得,当|A|=0时,称A为奇异矩阵,否则称A为非奇异矩阵.由此可得,A是可逆矩阵的充分必要条件是A为非奇异矩阵.证明:由AB=E得,|A||B|=|E|=1,推论:若AB=E(或BA=E),则B=A-1.故|A|?0.因而,A-1存在,于是B=EB=(A-1A)B=A-1(AB)=A-1E=A-1.故结论成立.逆矩阵的运算性质(1)若矩阵A可逆,则A-1亦可逆,且(A-1)-1=A.当|A|?0时,定义A0=E,A-k=(A-1)k(k为正整数).且此时对任意整数?,?,有A?A?=A?+?,(A?)?=A??.(2)若矩阵A可逆,且??0,则?A亦可逆,且证明:(4)若矩阵A可逆,则AT亦可逆,且(AT)-1=(A-1)T.AT(A-1)T=(A-1A)T=ET=E,所以,(AT)-1=(A-1)T.(3)若A,B为同阶可逆方阵,则AB亦可逆,且(AB)-1=B-1A-1.证明:(AB)(B-1A-1)=A(BB-1)A-1=AEA-1=AA-1=E,所以,(AB)-1=B-1A-1.(5)若矩阵A可逆,则有|A-1|=|A|-1.证明:因为AA-1=E,所以,|A||A-1|=|E|=1,因此,|A-1|=|A|-1.的逆矩阵.例2:求方阵解:因为二、关于逆矩阵的计算所以A-1存在.同理可得所以,故解:例3:下列矩阵A,B是否可逆?若可逆,求其逆矩阵.所以,A可逆.由于同理可得所以,由于故B不可逆.例4:求的逆矩阵(ad–bc?0).解:用伴随矩阵的方法求A逆阵.|A|=ad–bc?0.A11=d,A21=–b,A12=–c,A22=a.设则A可逆且则求二阶矩阵A的逆可用“两调一除”的方法,其做法如下:例5:设求矩阵X使其满足AXB=C.解:由于所以,A-1,B-1都存在.且先将矩阵A中的主对角元素调换其位置,再将次对角元素调换其符号,最后用A的行列式|A|除矩阵A的每一个元素,即可得A的逆矩阵A-1.又由AXB=C,得A-1AXBB-1=A-1CB-1,则X=A-1CB-1.于是X=A-1CB-1例6:解矩阵方程解:给方程两端左乘矩阵得例7:设方阵A满足矩阵方程A2–A–2E=O,证明:A,A+2E都可逆,并求它们的逆矩阵.证明:由A2–A–2E=O,得A(A–E)=2E,则故A可逆,且A-1=所以又由A2–A–2E=O,得(A+2E)(A–3E)+4E=O,则故(A+2E)可逆,且(A+2E)-1=例8:设三阶方阵A,B满足关系式:A-1BA=6A+BA,且求B.解:由于|A|=1/56?0,由A-1BA=6A+BA,得A-1BA–BA=6A,所以A可逆,且A-1=则(A-1–E)BA=6A,由于(A-1–E)=所以(A-1–E)可逆,且(A-1–E)-1=由A和(A-1–E)可逆可得:B=6(A-1–E)-1对角型非奇异方阵的逆矩阵有如下结果:若则其中,?1?2···?n?0.例9:设且AP=P?,求An.解:由于|P|=2,则An=P?nP-1A=P?P-1,A2=P?P-1P?P-1=P??P-1=P?2P-1,···,Am=P?mP-1,而设?(x)=a0+a1x+···+amxm为一m次