自动化专业《复变函数与积分变换》教学大纲.docx

《复变函数与积分变换》教学大纲

课程编号英文名称：ComplexFunctionandIntegralTransform

学分：2

学时：总学时32学时，其中理论32学时，实践0学时

先修课程：高等数学

课程类别：通识教育课程

授课对象：自动化专业学生

教学单位：数理信息学院

修读学期：第3学期

一、课程描述和目标

本课程是自动化专业的一门通识教育课程，系统学习复变函数中解析函数的复积分理论、级数理论以及留数理论；还将学习傅里叶变换与拉普拉斯变换这两个变换的性质与应用。本课程的学习将提高学生在函数论方面的理论水平和综合应用能力，为学习信号与系统等内容奠定必要的基础。

通过学习本课程，拟达到以下课程目标：

课程目标1：会进行复数的相关运算，能计算复极限和复积分，理解解析函数的概念和判别，能对已知函数进行Taylor展开和Laurent展开，能计算留数，会用留数计算积分，能计算傅里叶变换和拉普拉斯变换，并学会用拉普拉斯变换解方程；培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力；提高发现问题、分析问题和应用复分析知识解决专业问题的能力。

课程目标对毕业要求的支撑关系

毕业要求指标点

课程目标

权重

1.3能够将积分变换、最优化理论等相关知识和数学模型方法用于推演、分析自动化相关领域的专业工程问题

课程目标1

H

三、教学内容、基本要求与学时分配

序号

教学内容

基本要求及重、难点（含德育要求）

学时

教学方式

对应课程目标

1

1复数与复变函数

复数

复数的三角表示

平面点集的一般概念

无穷大与复球面

复变函数

基本要求：掌握复数的三角表示，熟练进行复数的四则、乘幂及开方运算，能用复参数方程表示简单的曲线；了解无穷大、区域的概念及区域的分类，理解复变函数的极限与连续。

重点：复数的表示及运算

难点：辐角主值的计算

德育要求：培养学生的自主学习能力。

3

讲授法

课程目标1

2

2解析函数

2.1解析函数的概念

2.2解析函数与调和函数的关系

2.3初等函数

基本要求：了解复变函数的导数与微分的概念，理解和掌握解析函数的定义及其性质，掌握柯西－黎曼条件与解析函数的关系，能熟练判别函数的解析性。了解解析函数与调和函数的关系，掌握由已知的调和函数求其共轭调和函数，从而得到解析函数的方法；掌握几个重要复初等函数的定义以及它们与对应实初等函数之间的异同点。

重点：函数解析性的刻画

难点：解析函数的定义

德育要求：培养学生良好的数学思维品质。

5

讲授法、练习法

课程目标1

3

3复变函数的积分

3.1复积分的概念

3.2柯西积分定理

3.3柯西积分公式

3.4解析函数的高阶导数

基本要求：了解复变函数积分的概念与基本性质。掌握Cauchy积分定理、闭路变形定理和复合闭路定理。熟练掌握用Cauchy积分公式及高阶导数公式计算复积分。

重点：Cauchy积分定理

难点：Cauchy积分公式

德育要求：培养学生不同定理之间的比较分析能力。

5

讲授法、练习法

课程目标1

4

4解析函数的级数表示

4.1复数项级数

4.2复变函数项级数

4.3泰勒级数

4.4洛朗级数

基本要求：了解复数项级数、幂级数敛散性概念。了解幂级数的基本性质。掌握幂级数收敛半径的定义求法与公式求法。熟练掌握几个重要初等函数的Taylor展开式，能利用间接法做一些较复杂函数的Taylor展开；了解Laurent级数的作用，掌握利用Taylor展开的方法求得同一函数在不同解析环域内的Laurent展开。

重点：Taylor展开

难点：Laurent展开

德育要求：体会事物的相似性。

4

讲授法、练习法

课程目标1

5

5留数及其应用

5.1孤立奇点

5.2留数

5.3留数在定积分计算中的应用

基本要求：理解孤立奇点和零点的概念，掌握两者的联系，熟悉孤立奇点的分类与判别。掌握函数在孤立奇点处留数的概念。掌握留数计算的方法，能熟练运用留数定理计算复积分和3种标准类型的实积分。

重点：孤立奇点的分类

难点：孤立奇点处留数的计算

德育要求：使学生体会实积分与复积分的区别与转化。

6

讲授法、练习法

课程目标1

6

傅里叶变换

6.1傅里叶变换的概念

6.2单位冲激函数

6.3傅里叶变换的性质

基本要求：理解Fourier变换及其逆变换的概念，掌握几个重要信号的Fourier变换或逆变换。了解单位脉冲函数和单位阶跃函数的概念和性质，掌握他们的Fourier变换。掌握Fourier变换的性质，并进行相关计算。

重点：Fourier变换及其逆变换的概念

难点：Fourier变换的性质

德育要求：体会Fourier变换的思维模式及其应用。

5

讲授法

课程目标1

7

7拉普拉斯变换

7.1拉普拉斯变换的概念

7.2拉式变换的性质

7.3拉普拉斯逆