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专题4费马点中三线段模型与最值问题
【专题说明】
费马点”是指位于三角形内且到三角形三个顶点距高之和最短的点。
主要分为两种情况:
(1)当三角形三个内角都小于120°的三角形,通常将某三角形绕点旋转60度,从而将“不等三爪图”中三
条线段转化在同一条直线上,利用两点之间线段最短解决问题。
(2)当三角形有一个内角大于120°时,费马点就是此内角的顶点.
费马点问题解题的核心技巧:
旋转60°构造等边三角形将“不等三爪图”中三条线段转化至同一直线上利用两点之间线段最
短求解问题
【模型展示】
问题:在△ABC内找一点P,使得PA+PB+PC最小.
【分析】在之前的最值问题中,我们解决的依据有:两点之间线段最短、点到直线的连线中垂线段最短、
作对称化折线段为直线段、确定动点轨迹求最值等.
(1)如图,分别以△ABC中的AB、AC为边,作等边△ABD、等边△ACE.
(2)连接CD、BE,即有一组手拉手全等:△ADC≌△ABE.
(3)记CD、BE交点为P,点P即为费马点.(到这一步其实就可以了)
(4)以BC为边作等边△BCF,连接AF,必过点P,有∠PAB∠BPC∠CPA120°.
在图三的模型里有结论:(1)∠BPD60°;(2)连接AP,AP平分∠DPE.
有这两个结论便足以说明∠PAB∠BPC∠CPA120°.原来在“手拉手全等”就已经见过了呀,只是相逢何必
曾相识!
【例题】
、如图,四边形是菱形,,且∠∠,为对角线(不含点)上任意一点,
1ABCDAB4ABCABE60°GBDB
将△绕点逆时针旋转得到△,当取最小值时的长()
ABGB60°EBFAG+BG+CGEF
33233343
A.B.C.D.
2333
、如图,将绕点逆时针旋转得到,与交于点,可推出结论:
2ABCA60°ADEDEBCPPAPCPE
问题解决:如图,在中,,,.点是内一点,则点到
MNGMN6M75MG42OMNGO
三个顶点的距离和的最小值是
___________
MNG
、如图,四边形是菱形,,且∠,是菱形内任一点,连接,,,
3ABCDAB6ABC60°MAMBMCM
则AM+BM+CM的最小值为________.
4、如图,△ABC中,∠BAC=30°且AB=AC,P是底边上的高AH上一点.若AP+BP+CP的最小值为22,
则=.
BC_____
5、如图,四边形ABCD是正方形,△ABE是等边三角形,M为对角线BD(不含B点)上任意一点,将BM
绕点B逆时针旋转60°得到BN,连接EN、AM、CM.
ADAD
N
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