《非参数统计》 理论习题参考答案汇总 易丹辉 第2--8章 .docx

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第二章理论习题参考答案

7.假设连续型随机变量X的分布关于0对称，U=1,X00,其他，求证：|X|

证明：设Y=|X|，只要证对于?y0，有

P

P

只证第一个式子，第二个类似。

由于X的分布关于0对称，故

P

而PY≤y,U=1=

P

8.设连续总体X的分布关于原点0对称，X1,X2,?,Xn是来自X的简单随机样本，令Ui=1,X

证明：只要证

P

其中d是随机变量i=1nU

设{1,2,?,n}的所有全排列为{(r

P

由第7题的结论知，Ri与Ui独立，故i=1nri

P

r

最终有

P

9.对于Wilcoxon符号秩检验的检验统计量T+

E

（提示：利用第8题结论）

证明：不妨设总体的对称中心为原点，如果不是原点可以平移。

此时T+=i=1nUiRi，

E

由于各Ui只与相应的Xi有关系，故各Ui

Var

10.对于Wilcoxon符号秩检验的检验统计量T+，当零假设成立时，证明T+的渐近正态性。（提示：基于第8、9题的结论，利用李雅普诺夫

引理（李雅普诺夫中心极限定理）：设随机变量X1,X2,?,Xn,?相互独立，且它们具有数学期望和方差，EXk

lim

其中Φx为标准正态分布的分布函数

证明：只要对T+验证李雅普诺夫中心极限定理的条件，由于T+与i=1niUi

令Xk=kUk,k=1,2,?，则各Xk相互独立，EXk

k=1

由李雅普诺夫中心极限定理，i=1niUi有渐近正态性

第三章理论习题参考答案

5.设X和Y是两个独立的连续对称总体，X1,X2,?,Xm与Y1,

（1）PR1=r1,?,Rn=

（2）设WY=i=1nR

解：（1）可以考虑所有对象的排列情况：

P

也可以只关注n个对象的排列：

P

（2）从小到大看，混合样本排列有两种极端，一是Y的样本全在1到n的位置，此WY=i=1nRi=nn+12，还有一种极端是Y的样本全在

6.在第5题的条件下，证明：

E

先证明一个引理：设简单随机样本X1,?,X

（i）ER

（ii）对于任意1≤ij≤n，都有CovR

（i）的证明：

E

E

Var

（ii）的证明：

由数学期望的定义：

E

注意到

r

故有

E

Cov

利用上述结果容易完成本题证明，细节自己完成：

E

Var

7.设有m个黑球与n个白球，除了颜色不同，其他无区别。将这m+n个球排成一排，证明：如果一排中出现2k个游程，则排列的方式有2m-1k-1n-1k-1种；如果一排中出现2k+1个游程，

证明：当出现2k个游程时，必有k个黑球游程和k个白球游程（请学生思考为什么）。为得到k个黑球游程，可以将m个黑球排成一列，在m-1个空隙中插入k-1块隔板，将m个黑球隔成k个段，有m-1k-1种隔法。类似地，有n-1k-1种隔法得到k个白球游程。要将黑球游程和白球游程组合在一起，必须将不同颜色的游程插入彼此的空隙，有两种情况：黑球游程先出现或者白球游程先出现。每种情况都只有一种组合方法，例如白球游程先出现，则黑球游程只能插入白球游程的k-1个空隙和最后一个白球游程的后面。故总共排列方式为2×

当出现2k+1个游程时，必然是k个黑球游程与k+1个白球，或者k个白球游程或者k+1个黑球游程（请学生思考为什么）。利用隔板法，有m-1k-1种方法得到k个黑球游程，有n-1k种方法得到k+1个白球游程，有m-1k种方法得到k+1个黑球游程，有n-1k-1种方法得到k个白球游程。这两种情形都只有一种方式组合起来，即k+1个游程的球插入k个游程形成的k+1个位置中

注1：出现奇数个游程时，至少为3个游程，故采用2k+1的表述。

注2：利用本题结论，可以得到游程检验原假设成立时的统计量分布：

P

8.验证Ansari-Bradley检验中的ABX=j=1mN+12-

证明：将X，Y样本混合从小到大排列并且评秩：1,

若N为偶数，则大于N+12和小于N+12的秩各占一半，其中小于N+12的秩不变，大于N+12变为N+1-RXj；若N为奇数，则排在中间的秩为N+12，取值与其对应的AB得分相同

第四章理论习题参考答案

5.设有k个处理和n个区组的完全区组设计，第i个处理的n个观测的秩为Ri1

（1）写出这k个组之间的组间平方和表达式（用含Rij

（2）给出Friedman检验统计量与（1）的组内平方和的关系。

解：首先明确k个处理和n个区组的完全区组设计的数据结构：

表1

处理1

处理2

?

处理k

区组1

x

x

?

x

区组2

x

x

?

x

?

?

?

?

?

区组n

x

x

?

x

如果换成秩，数据结构如下：

表2

处理1

处理2

?

处理k

秩和

区组1

R

R

?

R

k

区组2

R

R

?

R

k

?

?

?

?

?

k

区组n

R

R