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【高中数学函数专题】函数的周期性

1．周期函数的定义

对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，

那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．如果T是函数y＝f(x)的周期，则kT(k∈Z且

k≠0)也是y＝f(x)的周期，即f(x＋kT)＝f(x)；如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么

这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．

2．函数周期性常用的结论

结论1：若f(x＋a)＝f(x－a)，则f(x)的一个周期为2a；

结论2：若f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)的一个周期为2a；

结论3：若f(x＋a)＋f(x)＝c(a≠0)，则f(x)的一个周期为2a；

结论4：若f(x)＝f(x＋a)＋f(x－a)(a≠0)，则f(x)的一个周期为6a；

1

结论5：若f(x＋a)＝，则f(x)的一个周期为2a；

f(x)

1

结论6：若f(x＋a)＝－，则f(x)的一个周期为2a；

f(x)

结论7：若函数f(x)关于直线x＝a与x＝b对称，则f(x)的一个周期为2|b－a|．

结论8：若函数f(x)关于点(a，0)对称，又关于点(b，0)对称，则f(x)的一个周期为2|b－a|．

结论9：若函数f(x)关于直线x＝a对称，又关于点(b，0)对称，则f(x)的一个周期为4|b－a|．

结论7—结论9的记忆：两次对称成周期，两轴两心二倍差，一轴一心四倍差．

总规律：在函数的奇偶性、对称性、周期性中，知二断一．即这三条性质中，只要已知两条，则第三

条一定成立．

考点一已知函数的周期性(显性的)，求函数值

【方法总结】

利用函数的周期性，可将其他区间上的求值等问题，转化到已知区间上，进而解决问题．

【例题选讲】

[例1](1)若f(x)是R上周期为2的函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝2，则f(3)－f(4)＝__________．

221

4x－2，－2≤x≤0，

(2)设f(x)是定义在R上的周期为3的函数，当x∈[－2，1)时，f(x)＝则ff4

x，0x1，

＝________．

x＋a，－1≤x0，

(3)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1，1)上，f(x)＝2其中a∈R．若

|－x|

5，0≤x1，

59

＝，则f(5a)的值是________．

f()f()

22

πx

cos，0x≤2，

2

(4)函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，且在区间(－2，2]上，f(x)＝1则f(f(15))