考研数学线性代数强化资料-向量.docx

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模块五向量

Ⅰ教学规划

【教学目标】

1、理解向量的线性表出与线性相关性的根本概念，掌握其常见的性质

2、全面掌握判断或证明各类向量组线性表出及线性相关的根本方法和思路

3、了解向量空间的根本概念和常用公式〔*数学一〕

【主要内容】

1、向量组线性表出和线性相关的根本概念

2、向量组线性表出和线性相关的常见性质和核心定理

3、向量组线性表出的判定和证明

4、向量组线性相关性的判定和证明

5、向量空间的根本概念和公式〔*数学一〕

【重难点】

1、各类向量组线性表出的判定和证明

2、证明向量组线性无关

Ⅱ知识点回忆

一．根本概念

1．向量及其运算

1〕向量

由个实数组成的元有序实数组称之为维行向量，如果该实数组是纵向排列的：，那么称其为维列向量.

由多个同型向量〔维数相同且都为行向量或列向量〕组成的集合称之为向量组.

2〕向量的运算

假设那么可以定义如下运算：

转置：，通常我们也习惯把列向量写成

向量加法：

向量数乘：

2．线性组合与线性表出

1〕线性组合

设是个维向量，是任意个常数，那么称为向量组的一个线性组合.

2〕线性表出

设是个维向量，是一个维向量，如果存在实数，使得，那么称为向量组的一个线性组合，或称向量可以由向量组线性表出.

3〕向量组的线性表出与等价

设有向量组〔Ⅰ〕与向量组〔Ⅱ〕

如果向量组〔Ⅱ〕中的每一个向量都能由向量组〔Ⅰ〕线性表出，那么称向量组〔Ⅱ〕能由向量组〔Ⅰ〕线性表出.

向量组〔Ⅰ〕与向量组〔Ⅱ〕能相互线性表出，那么称向量组〔Ⅰ〕与向量组〔Ⅱ〕等价，记作〔Ⅰ〕〔Ⅱ〕.

3．线性相关性

1〕线性相关

设是个维向量，如果存在不全为零的实数，使得，那么称向量组线性相关.

2〕线性无关

如果向量组不是线性相关的，那么称该向量组线性无关.

4．内积与正交

1〕内积

假设，那么定义和的内积.

2〕正交

如果向量和的内积，那么称向量和正交.

3〕正交向量组

设为由非零向量组成的向量组，如果其中任意两个向量都是正交的，那么称该向量组为正交向量组.

二．重要公式与定理

1.常见性质

定理1：向量组线性相关当且仅当中至少有一个是其余个向量的线性组合.

定理2：假设向量组线性相关，那么向量组也线性相关.

定理3：假设向量组线性无关，那么向量组的延伸组也线性无关.

定理4：向量组线性无关，且线性相关，那么可以由向量组线性表出.

定理5：阶梯型向量组线性无关.

定理6：假设向量组可以由向量组线性表出，且线性无关，那么有.

定理7：个维向量必然线性相关.

2．与线性方程组有关的定理

定理8：向量可以由向量组线性表出

线性方程组有解.

定理9：向量组线性相关

齐次线性方程组有非零解.

3.施密特正交化

假设线性无关，令

此时是和等价的正交向量组.

三．向量空间〔*数学一〕

1．根本概念

1〕向量空间

设是维向量的非空集合，如果对加法和数乘两种运算都封闭，那么称是向量空间.

2〕子空间

设是向量空间的非空子集，如果对加法和数乘两种运算都封闭，那么称是的子空间.

3〕基和维数

设是向量空间，假设中有个向量线性无关，而中任意一个向量都能由线性线性表出，那么称为向量空间的一组基.向量空间的基中所含的向量个数称为向量空间的维数.如果向量空间的基同时也是正交单位向量组，那么称它为向量空间的标准正交基.

4〕坐标

设是向量空间的一组基，那么对中任意向量，存在唯一的一组实数，使得.我们将有序实数组称为向量在基下的坐标.

5〕基变换公式和过渡矩阵

设和都是向量空间的基，那么基变换公式为

矩阵称为从基到基的过渡矩阵.

2．重要公式和定理

定理10：向量空间的任意两个基等价.

定理11：向量空间的任意两个基所含向量个数相同.

定理12：假设在基和下的坐标分别为和，那么有或

，其中是从基到基的过渡矩阵.

Ⅲ考点精讲

一．线性表出的判定与证明

1．数值型向量的线性表出

【例1】：设，，试讨论当a，b为何值时

〔I〕不能由，，线性表示；

〔II〕可由，，唯一地线性表示，并求出表示式；

〔III〕可由，，线性表示，但表示不唯一，并求出表示式.

【答案】：(1);(2);

(3)

●小结：

线性表出与线性方程组的求解是等价的.不但能线性表出有解；同时线性表出的方式与的解也有一一对应的关系：也即线性表出的方式唯一有唯一解，线性表出的方式不唯一有无穷多解.

【例2】：设向量组，不能由向量组，，线性表示．

(I)求的值；

(