北师版高中数学选择性必修第一册精品课件 第3章 空间向量与立体几何 4.1 直线的方向向量与平面的法向量.pptVIP

;基础落实·必备知识一遍过;课程标准;;知识点1直线的方向向量与直线的向量表示

1.直线的方向向量;2.直线l的向量表示

已知点M是直线l上的一点,非零向量a是直线l的一个方向向量,那么对于直线l上的任意一点P,一定存在实数t,使得=ta.

反之,由几何知识不难确定,满足上式的点P一定在直线l上.因此,我们把这个式子称为直线l的向量表示.;思考辨析

1.在空间中,如何用向量表示一个点?

?

?

2.在空间中,怎样可以确定一条直线?;自主诊断

1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)

(1)直线的方向向量是唯一的.()

(2)若两直线平行,则它们的方向向量方向相同或相反.()

(3)若向量a是直线l的一个方向向量,则向量ka也是直线l的一个方向向量.();2.(多选题)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则()

A.直线DD1的一个方向向量为(0,0,1)

B.直线AB的一个方向向量为(0,0,1)

C.直线BC1的一个方向向量为(0,1,1)

D.直线B1D的一个方向向量为(1,1,1);3.[人教A版教材习题]在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,

,O是BD1与B1D的交点.以{a,b,c}为空间的一组基,求直线OA的一个方向向量.;知识点2平面的法向量及其应用

1.平面法向量的定义

我们已经知道,给定一点和一个方向可以唯一确定一条直线.类似地,空间中给定一点和一条直线后,可以唯一确定过此点与这条直线垂直的平面.因此,如果一条直线l与一个平面α垂直,那么就把直线l的方向向量n叫作平面α的法向量,则n⊥α.;2.平面的向量表示式;思考辨析

1.给定一点和一个方向可以唯一确定一条直线.类似地,给定一点和一条直线后,能否确定过此点和这条直线垂直的平面?;自主诊断

1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)

(1)平面的法向量是唯一的.()

(2)若向量n1,n2为平面的法向量,则以这两个向量为方向向量的直线一定平行.();2.[人教B版教材习题]设n1,n2分别是空间中两个不重合的平面α,β的法向量,分别根据下列条件判断平面α,β的位置关系.

(1)n1=(-2,1,2),n2=(6,-3,-6);

(2)n1=(1,2,3),n2=(3,6,9).;3.[人教A版教材习题]如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,AB=AC=1,AA1=2.以A为原点,建立如图所示空间直角坐标系.

(1)求平面BCC1B1的法向量;

(2)求平面A1BC的法向量.;;探究点一???直线的方向向量及其应用;规律方法1.应注意直线的方向向量有无数个,哪个易求求哪个.

2.利用直线上的一个已知点和直线的方向向量可以确定直线的位置,进而利用向量的运算确定直线上任一点的位置.;变式训练1(1)设直线l1,l2的方向向量分别为a=(1,2,-2),b=(-2,3,m),若l1⊥l2,则实数m等于()

A.1 B.2

C.3 D.4;?;证明如图,连接MO.

∵四边形ABCD是平行四边形,

∴O为AC的中点,

又M是PC的中点,

∴MO∥AP.

∵MO?平面BDM,AP?平面BDM,∴AP∥平面BDM.

∵AP?平面PAG,平面PAG∩平面BDM=GH,

∴AP∥GH,;探究点二平面的法向量及求法;变式探究本例条件不变,你能分别求出平面PAD与平面PCD的一个法向量吗?它们之间的关系如何?;规律方法1.利用待定系数法求平面法向量的步骤;2.求平面法向量的三个注意点

(1)选向量:在选取平面内的向量时,要选取不共线的两个向量.

(2)取特值:在求法向量的坐标时,可令x,y,z中一个取特殊值,得另两个值,就是平面的一个法向量.

(3)注意0:提前假定法向量n=(x,y,z)的某个坐标为某特定值时,一定要注意这个坐标不为0.;★变式训练2

[人教B版教材例题]如图所示,已知空间直角坐标系中的三棱锥O-ABC中,O(0,0,0),A(a,0,0),B(0,b,0),C(0,0,c),其中abc≠0,求平面ABC的一个法向量.;探究点三证明平面的法向量;证明如图,以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为1,则;规律方法用向量法证明平面法向量的实质仍然是用向量的数量积证明线线垂直,因此,其思想方法与证明线线垂直相同,区别在于必须证明两次线线垂直.;变式训练3

如图,正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直,AD⊥CD,AB∥CD,AB=AD=2,CD=4,M为CE的中点.

求证:BC⊥平面BDE.;证明∵平面ADEF⊥平面A