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函数与导数4

22．（2024·浙江·二模）定义，已知函数，其中.

(1)当时，求过原点的切线方程；

(2)若函数只有一个零点，求实数的取值范围.

【答案】(1)或

(2)或

【分析】（1）当时，求出，利用导数的几何意义得出切线斜率，即可求切线方程；

（2）对分类讨论，根据函数只有一个零点，结合函数的单调性分别分析求出的取值范围.

【详解】（1）由题意知定义域，当时，

，

令，

，

在单调递增，单调递减，且，

令，则在单调递增，而，

又，，而，

所以当时，，当时，，

所以当时，，当时，，

所以，

所以在和单调递增，在单调递减.

（ⅰ）当时，，设切点，

则此切线方程为，

又此切线过原点，

所以，解得，

即此时切线方程是；

（ⅱ）当时，，所以，

设切点为，此时切线方程，

又此切线过原点，所以，解得，

所以此时切线方程，

综上所述，所求切线方程是：或；

（2）（ⅰ）当时，

由（1）知，在和单调递增，单调递减，

且，，，

此时有两个零点；

（ⅱ）当时，

当时，，

由（1）知：在递增，递减，且，

所以时，，而，

所以在只有一个零点，没有零点；

（ⅲ）当时，

，此时得，

由（1）知，当时，只有一个零点，

要保证只有一个零点，只需要当时，没有零点，

，得；

（ⅳ）当时，当时，，

此时只有一个零点，

综上，只有一个零点时，或.

【点睛】关键点点睛：通过对的分类讨论，得出解析式，再由函数的单调性，结合函数只有一个零点，分别分析或列出不等式求的范围，解题过程较繁琐.

23．（2024·浙江宁波·二模）定义：对于定义在区间上的函数，若存在实数，使得函数在区间上单调递增（递减），在区间上单调递减（递增），则称这个函数为单峰函数且称为最优点.已知定义在区间上的函数是以为最优点的单峰函数，在区间上选取关于区间的中心对称的两个试验点，称使得较小的试验点为好点（若相同，就任选其一），另一个称为差点.容易发现，最优点与好点在差点的同一侧.我们以差点为分界点，把区间分成两部分，并称好点所在的部分为存优区间，设存优区间为，再对区间重复以上操作，可以找到新的存优区间，同理可依次找到存优区间，满足，可使存优区间长度逐步减小.为了方便找到最优点（或者接近最优点），从第二次操作起，将前一次操作中的好点作为本次操作的一个试验点，若每次操作后得到的存优区间长度与操作前区间的长度的比值为同一个常数，则称这样的操作是“优美的”，得到的每一个存优区间都称为优美存优区间，称为优美存优区间常数.对区间进行次“优美的”操作，最后得到优美存优区间，令，我们可任取区间内的一个实数作为最优点的近似值，称之为在区间上精度为的“合规近似值”，记作.已知函数，函数.

(1)求证：函数是单峰函数；

(2)已知为函数的最优点，为函数的最优点.

（i）求证：；

（ii）求证：.

注：.

【答案】(1)证明见解析；

(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析.

【分析】（1）根据单峰函数的定义，求导确定得单调性即可；

（2）（i）令，则，令，根据为函数的最优点，为函数的最优点，可确定导函数的零点，根据导函数的零点验证结论即可；（ii）根据“合规近似值”的定义，结合函数单调性与不等式的性质证明结论即可.

【详解】（1）因为，令，则.，

因为，则，则在上单调递减，

又因为，

由零点存在定理知，存在唯一的，使得，且

时，，，

所以在上递增，上递减，所以为单峰函数.

（2）（i）令，则，令，

因为为在上的最优点，所以为在的最优点，，

所以，结合最优点的定义知，为在区间上的唯一零点.

又由（1）知，在递增，递减，且.

所以由零点存在性定理知在区间存在唯一的，使得，

即，所以.

（ii）第一次操作：取，由对称性不妨去掉区间，

则存优区间为，为好点；

第二次操作：为一个试验点，为了保证对称性，

另一个试验点与关于区间的中心对称，所以；

又因为前两次操作，每次操作后剩下的存优区间长度与操作前的比值为.

若，即，则（舍去）；

若，即，则，即，解得或（舍）.

则操作5次后的精度为.

.

又，

所以.

所以，得证.

【点睛】关键点点睛：本题属于函数新定义问题，求解本题第二问得关键点在于对“单峰函数”、“优美存优区间常数”、“合规近似值”的理解，结合函数的单调性、绝对值不等式的进行结论的证明.考查学生的分析与计算，属于难题.