北师版高中数学选择性必修第一册精品课件 第3章 空间向量与立体几何 4.2 用向量方法研究立体几何中的位置关系.ppt

第三章4.2用向量方法研究立体几何中的位置关系

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课程标准1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系.2.能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面平行关系的判定定理.3.能用向量方法证明空间中直线、平面的平行关系.4.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.5.能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面垂直关系的判定定理.6.能用向量方法证明空间中直线、平面的垂直关系.7.会用三垂线定理及逆定理解题.

基础落实·必备知识一遍过

知识点1空间中的平行与垂直设向量l,m分别是直线l,m的方向向量,n1,n2分别是平面α,β的法向量,则l∥m或l与m重合?l∥m;l∥α或l?α?l⊥n1;?两种情况易忽略?α∥β或α与β重合?n1∥n2;l⊥m?l⊥m;l⊥α?l∥n1;α⊥β?n1⊥n2.

名师点睛1.空间平行关系的本质是线线平行,根据共线向量基本定理,先证明两条直线的方向向量平行.此外,证明线面平行也可用共面向量定理,先证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示.2.利用直线的方向向量证明直线与直线平行、直线与平面平行时,要注意向量所在的直线与所证直线或平面无公共点,证明平面与平面平行时也要注意两平面没有公共点.

思考辨析1.用向量证明平行关系时要注意什么?2.已知四面体ABCD中,AB=AC,DB=DC,点M为棱BC的中点,指出平面ADM的一个法向量.哪两个平面互相垂直?为什么?提示在证明直线与直线平行时,要说明两条直线不重合;在证明直线与平面平行时,要说明直线不在平面内;在证明平面与平面平行时,要说明两个平面不重合.提示平面ADM的一个法向量是等)(答案不唯一);互相垂直的平面有两组:平面ADM⊥平面ABC,平面ADM⊥平面BCD.

自主诊断1.[人教A版教材习题]如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是平面AB1,平面A1C1的中心.求证:EF∥平面ACD1.

证明建立如图所示的空间直角坐标系.设正方体的棱长为2.∵E,F分别是平面AB1,平面A1C1的中心,∴E(2,1,1),F(1,1,2).

2.[人教A版教材习题]如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,BC=CC1=1,E是CD的中点,F是BC的中点.求证:平面EAD1⊥平面EFD1.

证明建立如图所示的空间直角坐标系.

取x1=1,则y1=1,z1=1.∴n1=(1,1,1)是平面EAD1的一个法向量.设n2=(x2,y2,z2)是平面EFD1的法向量.取x2=2,则y2=-1,z2=-1,∴n2=(2,-1,-1)是平面EFD1的一个法向量.又n1·n2=1×2+1×(-1)+1×(-1)=0,∴n1⊥n2,∴平面EAD1⊥平面EFD1.

3.[人教A版教材习题]如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=90°,CB=1,CA=2,AA1=,M是CC1的中点.求证:AM⊥BA1.

知识点2三垂线定理及其逆定理简记为“线投垂直?线斜垂直”?三垂线定理若平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的投影垂直,则它也和这条斜线垂直.类似地可以得到:简记为“线斜垂直?线投垂直”?三垂线定理的逆定理若平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直,则它也和这条斜线在这个平面内的投影垂直.

思考辨析如果将三垂线定理中“在这个平面内”的条件去掉,结论仍然成立吗?提示不成立,例如当b⊥α时,b⊥OA,但b不垂直于OP.

自主诊断1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)若a是平面α的斜线,直线b垂直于a在平面α内的投影,则a⊥b.()(2)若a是平面α的斜线,平面β内的直线b垂直于a在平面α内的投影,则a⊥b.()(3)若a是平面α的斜线,直线b?α且b垂直于a在另一平面β内的投影,则a⊥b.()(4)若a是平面α的斜线,b∥α,直线b垂直于a在平面α内的投影,则a⊥b.()×××√

2.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AD=2,P为C1D1的中点,M为BC的中点,则AM与PM的位置关系为()A.平行 B.异面C.垂直 D.以上都不对C

解析如图所示,取CD的中点P,连接PP,AP,MP,由长方体性质及已知,易知PP⊥平面ABCD,所以MP为PM在平面ABCD内的投影.由题意得,

重难探究·能力素养速提升

探究点一利用向量方法证明线线平行【例1】在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,AD=3,AA1=2,P,Q,R,S分别