吉林省长春市东北师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期期末数学试题（含答案解析）.docx

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吉林省长春市东北师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期期末数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知为虚数单位，复数，则（????）

A． B． C． D．

2．已知两条不同的直线m，n和两个不同的平面α，β，下列四个命题中正确的为（????）

A．若，，则 B．若，，则

C．若，，则 D．若，，则

3．高一年级某位同学在五次考试中的数学成绩分别为105，90，104，106，95，这位同学五次数学成绩的方差为（????）

A．20.2 B．40.4 C．50 D．50.2

4．在直三棱柱中，，且，则异面直线与所成角的余弦值是（????）

A． B． C． D．

5．数据1，2，5，4，8，10，6的第60百分位数是（????）

A．4.5 B．5.5 C．6 D．8

6．已知圆台的上、下底面圆的半径分别为1和3，高为1，则圆台的表面积为（????）

A． B．20π C． D．

7．某学校高一年级学生有900人，其中男生500人，女生400人，为了获得该校高一全体学生的身高信息，现采用样本量按比例分配的分层随机抽样方法抽取了容量为180的样本，经计算得男生样本的均值为170，女生样本的均值为161，则抽取的样本的均值为是（????）

A．165.5 B．166 C．166.5 D．168

8．棱长为2的正方体内有一个棱长为a的正四面体，且该正四面体可以在正方体内任意转动，则a的最大值为（????）

A．1 B． C． D．2

二、多选题

9．某单位为了解员工参与一项志愿服务活动的情况，从800位员工中抽取了100名员工进行调查，根据这100人的服务时长（单位：小时），得到如图所示的频率分布直方图．则（????）

A．a的值为0.018 B．估计员工平均服务时长为45小时

C．估计员工服务时长的中位数为48.6小时 D．估计本单位员工中服务时长超过50小时的有45人

10．正六边形ABCDEF的边长为2，G为正六边形边上的动点，则的值可能为（????）

A． B． C．12 D．16

11．如图，正三棱锥和正三棱锥的侧棱长均为，．若将正三棱锥绕BD旋转，使得点A，C分别旋转至点M，N处，且M，B，D，E四点共面，点M，E分别位于BD两侧，则（????）

A． B．

C．MC的长度为 D．点C与点A旋转运动的轨迹长度之比为

三、填空题

12．已知复数，复数满足，则的最小值为．

13．设正方体的棱长为1，E，F分别为AB，的中点，点M在正方体的表面上运动，且满足，则点M轨迹的长度为．

14．有两个相同的直三棱柱，高为2，底面三角形的三边长分别为．用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，拼成的几何体的表面积最小值是．

四、解答题

15．已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，．

(1)若，，求A；

(2)若，求周长的最大值．

16．在四棱锥中，平面ABCD，，∥，，，E为PD中点．

(1)求证：∥平面PAB；

(2)求直线CE与平面PAD所成的角的正弦值．（要求用几何法解答）

17．近年来，“直播带货”受到越来越多人的喜爱，目前已经成为推动消费的一种流行营销形式，某直播平台有1000个直播商家，对其进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、生鲜、玩具、饰品类等，各类直播商家所占比例如图①所示，为了更好地服务买卖双方，该直播平台打算用分层抽样的方式抽取80个直播商家进行问询交流．

(1)应抽取小吃类商家多少家？

(2)在问询了解直播商家的利润状况时，工作人员对抽取的80个商家的平均日利润进行了统计（单位：元），所得频率直方图如图②所示．

①估计该直播平台商家平均日利润的第75百分位数；

②若将平均日利润超过480元的商家称为“优质商家”，估计该直播平台“优质商家”的个数．

18．如图，已知正方体的棱长为2，M分别为棱的中点．

(1)证明：；

(2)求平面与平面ABCD所成二面角的余弦值．

（要求用几何法解答）

19．定义：球的直径的两个端点称为球的一对对径点；过球心的平面与球面的交线称为该球的大圆；对于球面上不在同一个大圆上的点A，B，C，过任意两点的大圆上的劣弧AB，劣弧BC，劣弧CA所组成的图形称为球面，记其面积为．易知：球的任意两个大圆均可交于一对对径点，如图1的A，；若球面上A，B，C的对径点分别为，，，则球面与球面全等，如图2．已知球O的半径为R，圆弧AB和圆弧AC所在平面组成的锐二面角的大小为α，圆弧