北师版高考总复习一轮文科数学精品课件 第3章 导数及其应用 指点迷津(四) 破解“双变量问题的转化”.ppt

;在解决函数与导数综合题时,我们经常会遇到在某个范围内都可以任意变动的双变量问题,由于两个变量都在变动,因此不知把哪个变量当成自变量进行函数研究,从而无法展开思路,造成无从下手的感觉,正因为如此,这样的问题往往穿插在高考试卷压轴题的某些步骤之中,是考生感到困惑的难点问题之一,下面针对不同的题设条件给出处理双变量问题的相应策略,希望给同学们以帮助和启发.;一、等价转化为函数的最值或值域问题;当a0时,f(x)0,f(x)在(0,+∞)上是减少的;

当a0时,在(0,a)上,f(x)0,f(x)的递减区间是(0,a),在(a,+∞)上,f(x)0,f(x)的递增区间是(a,+∞).;规律方法双变量存在性或任意性问题的基本类型与“等价转化”策略;对点训练1已知函数f(x)=7x2-28x-a,g(x)=2x3+4x2-40x,如果存在

x1∈[-3,3],x2∈[-3,3],使f(x1)≤g(x2)能成立,则实数a的取值范围是.?;二、寻找两变量的关系转化为单变量函数问题

例2已知函数f(x)=x-+alnx,且f(x)有两个极值点x1,x2,其中x1∈(1,2],则f(x1)-f(x2)的最小值为.?;答案:3-5ln2;规律方法求二元函数的最值或证明两个元的某种关系时,通过两个元之间的关系或两个元之间的函数的关系,运用转化的思想进行消元,化归为熟悉的一元问题,再通过研究一元问题使原问题得到解决.;对点训练2若函数f(x)=x3-3ax2+12x(a0)存在两个极值点x1,x2,则f(x1)+f(x2)的取值范围是.?;答案:(-∞,16)

解析:由f(x)=x3-3ax2+12x(a0),则f(x)=3x2-6ax+12,

∵f(x)存在两个极值点x1,x2,

∴Δ=36a2-4×3×120,又a0,∴a2,则x1+x2=2a,x1x2=4.

=(x1+x2)[(x1+x2)2-3x1x2]-3a[(x1+x2)2-2x1x2]+12(x1+x2)

=2a(4a2-12)-3a(4a2-8)+24a=-4a3+24a.

设g(a)=-4a3+24a,则g(a)=-12a2+24=-12(a2-2),

当a2时,g(a)0,则g(a)在(2,+∞)上是减少的.

∴g(a)g(2)=16,∴f(x1)+f(x2)的取值范围是(-∞,16).;三、从双变量问题等价变换中构造函数求解;解:(1)易知f(x)的定义域为R,f(x)=(x+1)ex.

当x-1时,f(x)0,∴f(x)在(-1,+∞)上是增加的;

当x-1时,f(x)0,∴f(x)在(-∞,-1)上是减少的.

∴f(x)的递减区间是(-∞,-1),递增区间是(-1,+∞).;∴(1-x)ex-(m+1)≤0,

∴m+1≥(1-x)ex.

设h(x)=(1-x)ex,则h(x)=-xex0,∴h(x)在[1,e]上是减少的,

∴h(x)max=h(1)=0,

∴m+1≥0,即m≥-1.;规律方法若题设条件中含有一个双变量的恒等式或不等式,通过对该恒等式或不等式进行等价变形,使恒等式或不等式两边的两个变量对应的代数式结构相同,就可以构造出一个函数,从而利用此函数求解得出结论.;答案:[1,+∞);四、利用换元法将两个变量转换成一个变量

例4设函数f(x)=x2-(a+2)x+alnx,g(x)=2alnx-4x+b,其中a0,b∈R.若a2且方程f(x)=g(x)在(1,+∞)上有两个不相等的实数根x1,x2,求证:;?;规律方法本例充分体现了对条件和要证的结论进行一系列等价变形的重要性,将陌生的问题等价成熟悉的问题,将双变量等价变形成能整体换元的形式,从而实现双元变单元的目的.再构造新函数分析函数的单调性,证出结论.;对点训练4(2022安徽安庆二模)若存在两个正实数x,y使得等式x(2+lnx)=xlny-ay成立,则实数a的取值范围是();答案:D;本课结束