2020年中考数学《几何综合》培优拔高专项复习讲义及解析.docVIP

2020年中考数学《几何综合》培优拔高专项复习讲义及解析

1．如图，△ABC是等边三角形，D，E分别是AC，BC边上的点，且AD＝CE，连接BD，AE相交于点F．

（1）∠BFE的度数是；

（2）如果＝，那么＝；

（3）如果＝时，请用含n的式子表示AF，BF的数量关系，并证明．

2．如图，∠BAD＝90°，AB＝AD，CB＝CD，一个以点C为顶点的45°角绕点C旋转，角的两边与BA，DA交于点M，N，与BA，DA的延长线交于点E，F，连接AC．

（1）在∠FCE旋转的过程中，当∠FCA＝∠ECA时，如图1，求证：AE＝AF；

（2）在∠FCE旋转的过程中，当∠FCA≠∠ECA时，如图2，如果∠B＝30°，CB＝2，用等式表示线段AE，AF之间的数量关系，并证明．

3．已知：如图，矩形ABCD中，AB＞AD．

（1）以点A为圆心，AB为半径作弧，交DC于点E，且AE＝AB，联结AE，BE，请补全图形，并判断∠AEB与∠CEB的数量关系；

（2）在（1）的条件下，设a＝，b＝，试用等式表示a与b间的数量关系并加以证明．

4．已知：△ABD和△CBD关于直线BD对称（点A的对称点是点C），点E，F分别是线段BC和线段BD上的点，且点F在线段EC的垂直平分线上，连接AF，AE，AE交BD于点G．

（1）如图1，求证：∠EAF＝∠ABD；

（2）如图2，当AB＝AD时，M是线段AG上一点，连接BM，ED，MF，MF的延长线交ED于点N，∠MBF＝∠BAF，AF＝AD，试探究FM和FN之间的数量关系，并证明你的结论．

5．以AB为直径作半圆O，AB＝10，点C是该半圆上一动点，连接AC、BC，并延长BC至点D，使DC＝BC，过点D作DE⊥AB于点E、交AC于点F，连接OF．

（1）如图①，当点E与点O重合时，求∠BAC的度数；

（2）如图②，当DE＝8时，求线段EF的长；

（3）在点C运动过程中，若点E始终在线段AB上，是否存在以点E、O、F为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请直接写出此时线段OE的长；若不存在，请说明理由．

6．如图①，P为△ABC内一点，连接PA、PB、PC，在△PAB、△PBC和△PAC中，如果存在一个三角形与△ABC相似，那么就称P为△ABC的自相似点．

（1）如图②，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＞∠A，CD是AB上的中线，过点B作BE丄CD，垂足为E．试说明E是△ABC的自相似点；

（2）在△ABC中，∠A＜∠B＜∠C．

①如图③，利用尺规作出△ABC的自相似点P（写出作法并保留作图痕迹）；

②若△ABC的内心P是该三角形的自相似点，求该三角形三个内角的度数．

7．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CD⊥AB于点D，点E为AC边上一点，连接BE交CD于点F，过点E作EG⊥BE交AB于点G，

（1）如图1，当点E为AC中点时，线段EF与EG的数量关系是；

（2）如图2，当，探究线段EF与EG的数量关系并且证明；

（3）如图3，当，线段EF与EG的数量关系是．

8．如图，已知点P是边长为4的正方形ABCD内一点，且PB＝3，BF⊥BP，垂足是B．请在射线BF上找一点M，使以点B、M、C为顶点的三角形与△ABP相似．（请注意：全等图形是相似图形的特例）

参考答案与试题解析

1．如图，△ABC是等边三角形，D，E分别是AC，BC边上的点，且AD＝CE，连接BD，AE相交于点F．

（1）∠BFE的度数是60°；

（2）如果＝，那么＝1；

（3）如果＝时，请用含n的式子表示AF，BF的数量关系，并证明．

【分析】（1）易证△ABD≌△ACE，可得∠DAF＝∠ABF，根据外角等于不相邻两个内角的和即可解题．

（2）如图1中，当＝时，由题意可知：AD＝CD，BE＝CE．利用等腰三角形的性质即可解决问题；

（3）设AF＝x，BF＝y，AB＝BC＝AC＝n．AD＝CE＝1，由△ABD≌△CAE，推出BD＝AE，设BD＝AE＝m，利用相似三角形的性质，列出关系式即可解决问题；

【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，

∴AB＝AC，∠BAD＝∠C＝60°，

在△ABD和△ACE中，

，

∴△ABD≌△ACE（SAS）

∴∠DAF＝∠ABD，

∴∠BFE＝∠ABD+∠BAF＝∠DAF+∠BAF＝∠BAD＝60°，

故答案为：60°．

（2）如图1中，当＝时，由题意可知：AD＝CD，BE＝CE．

∵△ABC是等边三角形，BE＝EC，AD＝CD，

∴∠BAE＝∠BAC＝×60°＝30°，∠ABD＝∠ABC＝30°，

∴∠FAB＝∠FBA，

∴FA＝FB，

∴＝1．

故答案为1．

（3）设AF＝x，BF＝y，AB＝BC＝AC＝n．AD＝CE＝1，

∵△AB