专题03 排列组合（考点串讲+9热考题型）（高教版2021·拓展模块下册）（原卷版）.docx

专题03排列组合

考点串讲

考点串讲

考点一、计数原理

（1）分类加法计数原理与分步乘法计数原理

基本形式

一般形式

分类加法计数原理

完成一件事有两类不同方案，

在第1类方案中有m种不同的方法，

在第2类方案中有n种不同的方法，

那么完成这件事共有

N＝m＋n种不同的方法．

完成一件事有n类不同方案，

在第1类方案中有m1种不同的方法，

在第2类方案中有m2种不同的方法，

…，

在第n类方案中有mn种不同的方法，

那么完成这件事共有

N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法．

分步乘法计数原理

完成一件事需要两个步骤，

做第1步有m种不同的方法，

做第2步有n种不同的方法，

那么完成这件事共

有N＝m×n种不同的方法．

完成一件事需要n个步骤，

做第1步有m1种不同的方法，

做第2步有m2种不同的方法，

…，

做第n步有mn种不同的方法，

那么完成这件事共有

N＝m1×m2×…×mn种不同的方法．

注意：分类加法计数原理与分步乘法计数原理，都涉及完成一件事情的不同方法种数．

它们的区别在于：

分类加法计数原理与分类有关，各方法相互独立，用其中的任何一种方法都可以完成这件事；

分步乘法计数原理与分步有关，各步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成．

（2）应用两个原理解题的一般思路

注意：

明白要完成的事情是什么；

分清完成该事情是分类完成还是分步完成，“类”间互相独立，“步”间互相联系；

有无特殊条件的限制；

检验是否有重复或遗漏．

考点二、排列与组合

（1）排列与排列数

排列：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．

排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号Peq\o\al(m,n)表示．

排列数公式的两种形式：

Peq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，其中m，n∈N*，并且m≤n.

Peq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,?n－m?！).

全排列：把n个不同的元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，全排列数为Peq\o\al(n,n)＝n！(叫做n的阶乘)．规定：0！＝1.

（2）组合及组合数

组合：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．

组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号Ceq\o\al(m,n)表示．

排列与组合的关系

相同点

两者都是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素

不同点

排列问题中元素有序，组合问题中元素无序

关系

组合数Ceq\o\al(m,n)与排列数Peq\o\al(m,n)间存在的关系:Peq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(m,n)Peq\o\al(m,m)

组合数公式

组合数

公式

乘积

形式

Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(n?n－1??n－2?…?n－m＋1?,m！)，

其中m，n∈N*，并且m≤n

阶乘

形式

Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,m！?n－m?！)

规定：Ceq\o\al(0,n)＝1.

组合数的性质

性质1：Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n).

性质2：Ceq\o\al(m,n＋1)＝Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m－1,n).

考点三、二项式定理

（1）二项式定理

定义：一般地，对于任意正整数，都有：.

这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式．式中的做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第项：，其中的系数叫做二项式系数

二项式的展开式的特点：

项数：共有项，比二项式的次数大1；

二项式系数：第项的二项式系数为，最大二项式系数项居中；

次数：各项的次数都等于二项式的幂指数．字母降幂排列，次数由到0；字母升幂排列，次数从0到，每一项中，a，b次数和均为；

二项展开式的通顶公式：

公式特点：

它表示二项展开式的第项，该项的二项式系数是；

字母的次数和组合数的上标相同.

（2）二顶式系数及其性质

的展开式中各项的二顶式系数、、…具有如下性质：

对称性：二项展开式中，与首末两端“等距离的两项的二项式系数相等，即；

增减性与最大值：二项式系数在前半部分逐渐增大，在后半部分逐渐减小，在中间取得最大值．其中，当为偶数时，二项展开式中间一项的二项式系数最大；当为奇数时，二项展开