专题17 圆锥曲线常考压轴小题全归类（16大题型）（练习）（解析版）.docxVIP

专题17圆锥曲线常考压轴小题全归类

目录

TOC\o1-3\h\z\u01阿波罗尼斯圆与圆锥曲线 2

02蒙日圆 4

03阿基米德三角形 6

04仿射变换问题 10

05圆锥曲线第二定义 12

06焦半径问题 16

07圆锥曲线第三定义 19

08定比点差法与点差法 21

09切线问题 25

10焦点三角形问题 28

11焦点弦问题 30

12圆锥曲线与张角问题 32

13圆锥曲线与角平分线问题 34

14圆锥曲线与通径问题 38

15圆锥曲线的光学性质问题 40

16圆锥曲线与四心问题 43

01阿波罗尼斯圆与圆锥曲线

1．（2024·江西赣州·统考模拟预测）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点A，B的距离之比为，那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，圆、点和点，M为圆O上的动点，则的最大值为（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】设，令，则，

由题知圆是关于点A、C的阿波罗尼斯圆，且，

设点，则，

整理得：，

比较两方程可得：，，，即，，点，

当点M位于图中的位置时，的值最大，最大为.

故选：B.

2．（2024·全国·高三专题练习）已知平面内两个定点，及动点，若（且），则点的轨迹是圆.后世把这种圆称为阿波罗尼斯圆.已知，，直线，直线，若为，的交点，则的最小值为（????）

A．3 B． C． D．

【答案】A

【解析】由已知过定点，

过定点，

因为，，所以，即，

所以点的轨迹是以为直径的圆，除去点，故圆心为，半径为3，

则的轨迹方程为，即，易知O、Q在该圆内，

又，

即，

取，则，又，

所以，

所以的最小值为.

故选：A.

3．（2024·全国·校联考模拟预测）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得?阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离之比为定值，且的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系中，，点满足.设点的轨迹为曲线，则下列说法错误的是（????）

A．的方程为

B．当三点不共线时，则

C．在C上存在点M，使得

D．若，则的最小值为

【答案】C

【解析】设，由，得，化简得，故A正确；

当三点不共线时，，所以是的角平分线，所以，故B正确；

设,则，化简得，因为，所以C上不存在点M，使得，故C错

误；

因为，所以，所以，当且仅当在线段上时，等号成立，故D正确.

故选：C.

02蒙日圆

4．（2024·青海西宁·统考）法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”．他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆被称为该椭圆的蒙日圆．若椭圆：（）的蒙日圆为，则椭圆Γ的离心率为（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

如图，分别与椭圆相切，显然.

所以点在蒙日圆上，

所以，所以，即，

所以椭圆的离心率.

故选：D

5．（2024·陕西西安·长安一中校考）“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相输出垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为椭圆的蒙日圆．若椭圆C：的离心率为，则椭圆C的蒙日圆的方程为（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】因为椭圆：的离心率为，则，解得，即椭圆的方程为，

于是椭圆的上顶点，右顶点，经过两点的椭圆切线方程分别为，，

则两条切线的交点坐标为，显然这两条切线互相垂直，因此点在椭圆的蒙日圆上，

圆心为椭圆的中心O，椭圆的蒙日圆半径，

所以椭圆的蒙日圆方程为.

故选：B

6．（2024·江西·统考模拟预测）定义：圆锥曲线的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是以坐标原点为圆心，为半径的圆，这个圆称为蒙日圆.已知椭圆的方程为，是直线上的一点，过点作椭圆的两条切线与椭圆相切于、两点，是坐标原点，连接，当为直角时，则（????）

A．或 B．或 C．或 D．或

【答案】D

【解析】根据蒙日圆定义，圆方程为，

因为直线与圆交于、两点，联立，可得或，

即点、，

当点与点或重合时，为直角，且，，

所以，直线的斜率为或.

故选：D.

03阿基米德三角形

7．（2024·陕西铜川·统考）古希腊哲学家、百科式科学家阿基米德最早采用分割法求得椭圆的面积为椭圆的长半轴长和短半轴长乘积的倍，这种方法已具有积分计算的雏形.已知椭圆的面积为，离心率为，，是椭圆的两个焦点，为椭圆上的动点，则下列