北京市通州区2024届高三上学期期末摸底考试数学试题 Word版含解析.docx

通州区2023—2024学年高三年级摸底考试

数学试卷

2024年1月

本试卷共4页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，请将答题卡交回.

第一部分（选择题共40分）

一?选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1.已知集合，则（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】应用集合的并运算求集合.

【详解】由题得，所以.

故选：D

2.已知复数满足，则复数（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用复数的除法运算结合模长公式进行求解.

【详解】由题意得，

所以，

故选：B.

3.已知双曲线的左?右焦点分别为为双曲线上一点，且，则双曲线的标准方程为（）

A. B.

C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】由题意可设双曲线标准方程为，进而确定的值，求得，即得答案.

【详解】由题意可设双曲线标准方程为，焦距为2c，

则由双曲线的左?右焦点分别为，可知，

由，知，故，

故双曲线的标准方程为，

故选：A

4.下列函数中，是偶函数且在区间上单调递减的是（）

A. B.

C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】由函数奇偶性以及单调性定义对选项逐个判断即可.

【详解】对于A，的定义域为，

，故为奇函数，故A错误；

对于B，的定义域为，不关于原点对称，

故是非奇非偶函数，故B错误；

对于C，的定义域为，

，故为偶函数，

当时，，在区间上单调递减，故C正确；

对于D，的图象如下图，

故D错.

故选：C.

5.如图，已知某圆锥形容器的轴截面为等边三角形，其边长为4，在该容器内放置一个圆柱，使得圆柱上底面的所在平面与圆锥底面的所在平面重合.若圆柱的高是圆锥的高的，则圆柱的体积为（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意，作出轴截面图，求出正三角形的高，再结合题意得圆柱的底面半径和高，进而计算体积即可.

【详解】根据题意，轴截面如图：

在等边三角形中，高，

因为圆柱的高是圆锥的高的，所以圆柱的高,

又且，所以是的中点，即，

于是该圆柱的底面半径为1，高为，

则体积为.

故选：C.

6.已知函数，则“”是“”的（）

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】求出时的范围，然后根据充分条件及必要条件的概念即可得出结论.

【详解】由题意，在中，对称轴，

∴当时，，解得：，

∴“”是“”的充分而不必要条件.

故选：A.

7.如图，在平面直角坐标系中，角和的顶点都与原点重合，始边都与轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于两点.若，则（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】由题意并根据可得，由三角函数定义知，然后应用差角余弦公式计算求值即可.

【详解】由题意，设，由已知A的坐标并结合三角函数的定义得，

则

故选：C

8.现有12个圆，圆心在同一条直线上，从第2个圆开始，每个圆都与前一个圆外切，从左到右它们的半径的长依次构成首项为16，公比为的等比数列，前3个圆如图所示.若点分别为第3个圆和第10个圆上任意一点，则的最大值为（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】由题意可知，的最大值为这8个圆的直径之和，然后利用等比数列求和公式可求得结果

【详解】由题意可知，这12个圆的半径的长依次构成首项为16，公比为的等比数列，

所以，

的最大值为这8个圆的直径之和，

由等比数列前项和公式可得，的最大值为.

故选：B.

9.在菱形中，是的中点，是上一点（不与，重合），与交于，则的取值范围是（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】由图可求得，根据向量积即可知.

【详解】如图所示：当点与点重合时，此时最长，

易知，且相似比为，

，在中，由余弦定理得：

，

所以，此时满足，所以，

所以，此时，

由图可知，，

则.

故选：B.

10.已知函数，实数满足.若对任意的，总有不等式成立，则的最大值为（）

A. B. C.4 D.6

【答案】D

【解析】

【分析】由分段函数的定义域对进行分类讨论可得的范围，即可得的最大值.

【详解】当时，有，

由随增大而增大，且，故，

当时，有，即，

即，

整理得，即，

故，又，故，

综上所述，，

则，当且仅当、时等号成立，

故的最大值为.

故选：D.

第二部分（非选择题共110分）

二?填空题共5小题，每小题5分，共25分.

11.已知函数，则__________.

【答案】#