选择题题库40道：计算机科学与技术-数学-高等数学_实变函数与泛函分析基础.docxVIP

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下列哪一种函数是实变函数中典型的非黎曼可积函数?

常数函数

线性函数

狄利克雷函数

正弦函数

答案:C

解析:狄利克雷函数在实数集上取值0和1交替，对于任何区间，它都无法满足黎曼积分的基本条件，因此是非黎曼可积的典型例子。

在实变函数中，哪个定理保证了在闭区间上连续函数存在最大值和最小值?

中值定理

基本定理

零点定理

极值定理

答案:D

解析:极值定理说明，在闭区间上连续函数必有最大值和最小值，这与实变函数中函数性质密切相关。

下列哪个空间是泛函分析中的巴拿赫空间?

C[a,b]上的所有连续函数构成的空间

L^2[a,b]上的所有平方可积函数构成的空间

L^1[a,b]上的所有绝对可积函数构成的空间

上述皆是

答案:D

解析:C[a,b],L^2[a,b],L^1[a,b]都是标准的巴拿赫空间例子，它们都满足完备性条件。

下列哪个是实变函数中用于衡量函数在某点或某区间偏差大小的指标?

函数的导数

函数的积分

函数的模

函数的振幅

答案:D

解析:函数在某一区间上的振幅等于函数在该区间上的最大值与最小值之差，用于衡量函数波动的大小。

泛函分析中，若一个算子T将Hilbert空间H中的任何元素映射到自身的多个元素，那么这个算子最有可能是哪种类型?

线性算子

有界算子

双射算子

多值算子

答案:D

解析:根据定义，多值算子可以将一个元素映射到多个元素，而线性算子、有界算子和双射算子都是一对一映射。

考虑实变函数f:R-R，其中f(x)=|x|，此函数在x=0处的左右导数是否相等?

是，它们相等

不是，左右导数都不存在

是，左右导数都为1

不是，左导数小于右导数

答案:D

解析:在x=0处，f(x)的左导数为-1，右导数为1，因此它们并不相等。

下列哪个是泛函分析中的弱收敛?

x_n到x的强收敛

x_n到x的弱*收敛

对任意线性泛函数f,f(x_n)到f(x)的收敛

函数序列的点点收敛

答案:C

解析:弱收敛是指在Hilbert或者Banach空间中，对所有连续线性泛函f，有f(x_n)→f(x)。

以下哪个函数是实变函数中典型的差分方程解?

e^x

sin(x)

x^2

a^n,其中a是常数

答案:D

解析:a^n是差分方程ax_n=x_{n-1}的解，这在实变函数中用于模型离散时间系统。

在泛函分析中，以下哪个是线性空间L^2[a,b]中的典型正交集?

单位向量集

正弦和余弦函数的集

常数函数集

所有连续函数的集

答案:B

解析:在L^2空间中，正弦和余弦函数可以构成一个正交基，这是傅里叶分析中的基础。

实变函数中的勒贝格积分与黎曼积分相比，它更强大在哪方面?

只能处理非负函数

能处理任何类型函数

能处理更广类别的函数

与黎曼积分完全等价

答案:C

解析:勒贝格积分可以处理黎曼积分不能处理的一些函数，如某些狄利克雷函数。

斯通-韦尔斯定理在泛函分析中主要应用于哪个空间?

C[a,b]空间

L^2[a,b]空间

L^1[a,b]空间

Banach空间

答案:A

解析:斯通-韦尔斯定理说明，C[a,b]上所有连续函数都可以被多项式函数一致逼近。

在实变函数中，下列哪个条件是函数列{f_n}一致收敛的必要条件?

{f_n}在每个点上点点收敛

{f_n}的积分收敛

{f_n}的导数序列收敛

{f_n}的模序列收敛

答案:A

解析:一致收敛的一个必要条件是函数列在每个点上都点点收敛。

在实变函数中，以下哪个函数是典型的在一点不连续但处处黎曼可积的例子?

正弦函数

狄利克雷函数

分段常数函数

e^x

答案:C

解析:分段常数函数除了在分段点处可能不连续外，其他地方都是连续的，但由于是常数函数的组合，因此是黎曼可积的。

考虑Hilbert空间中的两个序列{x_n},{y_n}，它们的内积是否可以无穷大?

只有当{x_n}或{y_n}不是平方可积时

只有当{x_n}和{y_n}都是无限序列时

只有当{x_n}和{y_n}至少有一个不是有界序列时

内积总是有限的

答案:D

解析:在Hilbert空间中，两个序列的内积总是有限的，这是由空间的完备性和序列的平方可积性决定的。

在泛函分析中，以下哪个定理说明了在Banach空间上局部有界即全局有界?

开映射定理

闭图形定理

均匀有界定理

零点定理

答案:C

解析:均匀有界定理，也称为Banach-Steinhaus定理，说明了如果一组有界线性算子在Banach空间的某个开集上是有界的，那么在全体空间上它们也是有界的。

实变函数中，以下哪种情况函数f(x)在[a,b]区间上一定存在导数?

f(x)在[a,b]上连续

f(x)在[a,b]上单调

f(x)在[a,b]上绝对连续

f(