初中数学八年级竞赛强化辅导讲义31讲：第 30讲 完全平方数.docxVIP

第30讲完全平方数

知识方法

一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数，也叫作平方数.

完全平方数有如下的重要性质：

(1)完全平方数的末位数只能是0、1、4、5、6、9.偶数的平方是4的倍数，奇数的平方被8除余1.

(2)奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数.

(3)完全平方数能被3整除或被3除余1.

(4)在两个相邻的整数的平方数之间的所有整数都不是完全平方数，即若n2k(n+

(5)当且仅当n有奇数个因子时，n是完全平方数.

经典例题解析

【例30-1】若a=19952+19952×1996

证明设1995=x,则1996=x+1.

a

=

=

=

=

=(1995×1996+1)2

所以a是一个完全平方数，a的平方根为±3982021.

【例30-2】证明：当n为自然数时，2(2n+1)形式的数不能表示成两个整数的平方差.

证明设x、y为两个整数，且22n+1

因为(x+y)与(x-y)的奇偶性相同,所以均能被2整除,则2(2n+1)能被4整除.

而(2n+1)是奇数，不能被4整除，所以2(2n+1)形式的数不能表示成两个整数的平方差.

【例30-3】甲、乙两人合养了n头羊，而每头羊的卖价又恰为n元，全部卖完后，两人分钱方法如下：先由甲拿10元，再由乙拿10元，如此轮流，拿到最后，剩下不足10元，轮到乙拿去.为了平均分配，甲应该补给乙多少元?

解n头羊的总价为n2元，由题意知，n2元中含有奇数个10元，即完全平方数n2的十位数字是奇数.

设n=10x+y,其中x、y是整数,0≤y≤9.那么

n

因此n2的十位数字是奇数，必须且只需y2的十位数字是奇数，所以y2=16或36，从而得n2

所以，乙最后拿的是6元，从而为平均分配，甲应补给乙2元.

【例30-4】能够找到这样的四个正整数，使得它们中任意两个数的积与2002的和都是完全平方数吗?若能够，请举出一例；若不能够，请说明理由.

解不能找到这样的四个正整数，使得它们中任意两个数的积与2002的和都是完全平方数.理由如下：

偶数的平方能被4整除，奇数的平方被4除余1，也就是正整数的平方被4除余0或1.

若存在正整数n?、n?、n?、n?满足n?n?+2002=m2,i,j=1、2、3、4,m是正整数.

因为2002被4除余2,所以n?n?被4除应余2或余3.

(1)若正整数n?、n?、n?、n?中有两个以上是偶数,不妨设n?、n?是偶数,则n?n?+2002被4除余2，与正整数的平方被4除余0或余1不符，所以正整数n?、n?、n?、

(2)在这三个奇数中，被4除的余数可分为余1或余3两类，根据抽屉原则，必有两个奇数属于同一类，则它们的乘积被4除余1，与n?n?被4除余2或余3的结论矛盾.

综上所述，不能找到这样的四个正整数，使得它们中任两个数的积与2002的和都是完全平方数.

【例30-5】长方形四边的长度都是小于10cm的整数，这四个长度数可以构成一个四位数，这个四位数的千位数字与百位数字相同，并且这个四位数是一个完全平方数，求这个长方形的面积.

解设长方形的边长为xcm、ycm，则四位数.N=1000x+100x+10y+y=1100x+11y=11(100x+y)=11(99x+x+y).

因为N是一个完全平方数，11为质数，所以x+y能被11整除.

又因为1≤x≤9,1≤y≤9,所以2≤x+y≤18,得x+y=11.

所以N=1199x

经试算知，当x=7时满足条件，故y=4，从而长方形的面积：=

【例30-6】某正整数的平方，其末三位是非零的相同数字，求具有该性质的最小正整数.

解设所求数为p,p0,p2既具有末三位数，则p2至少有三位数，p至少有两位数.

设p=10a±b(a、b为正整数,1≤b≤5),则

b

验证知当b=1、3、4、5时，p2的十位和个位数字奇偶性相反；当b=2时，p2的末两位数字奇偶性相同.所以所求数必须形如10a±2，而p=12时，p2=144

又注意50

所以50

容易验证上式中，当n=1并取“-”号时，有382=

【例30-7】若x和y都是自然数,试证:x2+y+1和

证明当x≥y时,.x2x2+y+1≤x

当xy时，y

若y2+4

若y2+4x+3=y+12,

综上所述，对任意的自然数x和y,x2+y+1和

【例30-8】如果对一切x的整数值，x的二次三项式ax2+bx+c

证明:(1)2a、2b、c都是整数.

(2)a、b、c都是整数，并且c是平方数；反过来，如果(2)成立，是否对一切x的整数值，x