初中数学八年级竞赛强化辅导讲义31讲：第 21讲 一次函数及其应用.docxVIP

第21讲一次函数及其应用

知识方法

形如y=kx+b(k≠0)的函数叫作一次函数，当b=0时是正比例函数.在直角坐标系中，它的图像是一条直线，它与y轴的交点坐标是(0，b)，与x轴的交点坐标是-

当k0时，y随x的增大而增大；当k0时，y随x的增大而减小.

在本讲中应该掌握以下各点：

(1)利用待定系数法确定一次函数的方法.

(2)一般的一次函数没有最大值或最小值，但是当自变量的取值范围有限制时，在端点处可以取到最大值或最小值.

(3)要注意运用数形结合的方法来解题.

(4)在应用问题中，要特别注意自变量的取值范围.

经典例题解析

【例21-1】HJ牌小汽车的油箱可装汽油30L，原来装有汽油10L，现在再加汽油xL.如果每升汽油2.95元，油箱内汽油的总价y(元)与x(L)之间的函数关系是，并在直角坐标系中画出其图像.

解设y=kx+b,则由题意知,当x=0时,y=29.5;

当x=20时,y=88.5.于是有29.5=b,88.5=20k+b.

解得k=2.95,b=29.5,且0≤x≤20.

所以函数关系是y=2.95x+29.5(0≤x≤20),其图像如图21-1所示.

【例21-2】如图21-2所示,y=kx-3k+2的图像与y轴正半轴、x轴正半轴分别交于点A、B,且OA+OB=12,求k的值.

解取x=0,得y=-3k+2,所以A(0,-3k+2);取y=0,得x

因OA+OB=12,故-3k+2+3-2k

【例21-3】已知函数y=|x-a|+|x+19|+|x--a--96|,其中a为常数,且19a96，当自变量的取值范围为a≤x≤96时，求y的最大值.

解因为a≤x≤96,19a96,

所以x-a≥0,x+19≥0,x-a-960.

故y=(x-a)+(x+19)-(x-a-96)=x+115.

显然,当a≤x≤96时,y随x的增大而增大.

所以,当x=96时,y取得最大值96+115=211.

【例21-4】已知直线y

(1)说明无论k取不等于1的任何实数此直线都经过某一定点，并求出此定点的坐标；

(2)若点B(5,0)与点P在y轴上,点A为(1)中确定的定点,要使△PAB为等腰三角形，求直线PA的解析式.

解(1)由题意知k≠1.

若取k=--1,得

-x+2y=6.①

若取k=2,得

2x-y=0.②

解式①、式②组成的方程组，得x

而x=2,y=4满足方程y=kx+2k-

(2)分三种情况讨论：

①设P?(0,m?),满足P?B=P?A,由勾股定理得52+m12=22

②设P?(0,m?),满足P?B=AB,,易求得AB=5,所以点P?(O,O),直线

③设P?(0,m?),满足P1A=AB,由勾股定理得

即P304+21,P404-21,直线

综上所述，直线PA的解析式为y=3716x-58,

【例21-5】如图21-3所示,直线y=-33x+1与x轴、y轴分别交于点A、B，以线段AB为直角边，在第一象限内作等腰直角△ABC，∠BAC=90°.如果在第二象限内有一点Pa12,且△

解令y=0和x=0,得直线y=-33x+1与x轴、y轴的交点坐标分别为.A3

因为△ABC为等腰直角三角形，所以S△ABC=2.

又因为S△ABP=S△ABC,所以S△ABP=2.

如图21-4所示，连接PC.

因为SBOP+SABO-S

【例21-6】设直线nx+n+1y=2(n为正整数)与两坐标轴围成的三角形面积为

(A)1C

解分别令y=0,x=0,得直线nx+n+1y=2与x

S

故S

故选C.

【例21-7】甲、乙两个仓库要向A、B两地送水泥，已知甲库可调出100t水泥，乙库可调出80t水泥,其中A地需70t水泥,B地需110t水泥,两库到A、B两地的路程和运费如表21-1所示(表中运费栏“元/(t·km)”表示每吨水泥运送1km所需人民币).

表21-1

路程/km

运费/[元/(t·km)]

甲库

乙库

甲库

乙库

A地

20

15

12

12

B地

25

20

10

8

(1)设甲库运往