初中数学八年级竞赛强化辅导讲义31讲：第 15 讲 实数与二次根式.docxVIP

第15讲实数与二次根式

知识方法

(1)有理数和无理数统称为实数.有理数包括整数和分数，无限不循环小数是无理数.两个有理数的和、差、积、商都是有理数，一个无理数与一个非零有理数的积是无理数.有理数能够写成两个整数之商的形式，而无理数不能够写成两个整数之商的形式.

(2)一个实数a的整数部分n是指不超过a的最大整数，a的小数部分是b=a-n(0≤b1).

(3)要掌握二次根式的四则运算法则，特别是分母有理化的方法，以及复合二次根式a±b

(4)要注意运用整式、分式的恒等变形技巧，如因式分解、运用公式、通分和约分、拆项、换元、配方等.

经典例题解析

【例15-1】化简3

解原式=

=

=

【例15-2】计算1

解原式=

=

=

【例15-3】若a、b、c为两两不等的有理数,求证:1a-

证明因1

=

=

=

故1a-

【例15-4】若x=19-83

解因为x=19-83

x

【例15-5】已知x=a-1a

解因为x=a-1a,所以x=a+1a-

故原式=

【例15-6】设x=12-1,a是x的小数部分，b是-x

解因为x=12-1=

又因为-x=-2-1,而-

故a3+

【例15-7】已知a=34+3

解3

=

=

=

由已知，可得1

故原式=

【例15-8】若8a≥1,则3a+a

解设3a

x

x

所以xy

因x3+y3=x+yx2-xy+

所以p

因p

所以当8a--1=0时,p=2a=1;

综上可知,p=1.

强化训练

一、选择题

1.有下列三个命题：

(甲)若α、β是不相等的无理数，则αβ+α—β—定是无理数；

(乙)若α、β是不相等的无理数，则α-

(丙)若α、β是不相等的无理数，则α+3

其中正确命题的个数是().

(A)0(B)1(C)2(D)3

2.设M=a2+b2+c2,

(A)必为偶数(B)必为奇数(C)必为无理数(D)以上三种都有可能

3.若a、b、a+b都是有理数，则a

(A)二者均为有理数(B)二者均为无理数

(C)一个为有理数，另一个为无理数(D)以上三种情况均有可能

4.设实数p=34-

(A)0p1(B)1p2(C)2p3D

5.已知p、q是有理数,而x=5-12满足方程x3+

(A)—1(B)1(C)-3(D)3

二、填空题

6.计算7

7.设m=5+1,那么

8.已知实数x满足x+1x=2,则

9.化简5

10.设1995x3=1996y3=1997z3,

三、解答题

11.已知a、b、c是两两不等的有理数，且a+b+c也是有理数，求证：

12.已知x=12ab+b

13.设13-7的整数部分是a，小数部分是b.试求

14.计算13

15.(1)证明:a

(2)利用或不利用上式，计算1

一、选择题

1.【答案】A.

【解析】命题甲是假命题，取α=2+1,β=2-

命题乙是假命题，取α=23,β=3

命题丙也是假命题，取α=32,β=-

2.【答案】B.

【解析】a、b为相邻的两个整数，则a、b必一奇一偶,不妨设b=a+1(或a=b+1),则M=a2+a+12+aa+12=

3.【答案】A.

【解析】若ab的值一个为有理数，另一个为无理数，则a+b为无理数，与已知条件矛盾，故可排除

若ab的值均为无理数，设a+b=m,则a=m-b,a=m2-2mb+b，即2mb=m2

所以ab的值均为有理数

4.【答案】B.

【解析】p=

=

因为1322,1332,

即1p2.

5.【答案】A.

【解析】将x=5-12代入x3+px+q=0并化简，得452+p+42q-p-4=0,,于是2+p=0,

二、填空题

6.【答案】1.

【解析】因37=1535,故3199871998

7.【答案】3.

【解析】因为m=5+1,所以1m=1

8.【答案】0.

【解析】由x+1x

x

=

=

9.【答案2-

【解析】原式=

=

=

=

10.【答案】1.

【解析】设1995x3=1996y3=1997z3=k3,则31995

31995

3

故1

因为x