初中数学八年级竞赛强化辅导讲义31讲：第 2讲 多边形的概念及内角和.docxVIP

第2讲多边形的概念及内角和

知识方法

在同一平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫作多边形.如果延长多边形的任一条边，整个多边形都在这条延长边的一侧，那么这样的多边形就叫作凸多边形.下面所说的多边形一般指凸多边形.

(1)n边形的内角和是(n-2)×180°,任意多边形的外角和等于360°.

(2)n边形的两个不相邻的顶点的连线叫作n边形的对角线，n边形有12n

经典例题解析

【例2-1】长为4的线段分成四小线段，以这四小线段为边可以作成一个四边形，则其中每一小段必须满足的条件是().

(A)不大于1(B)大于12或小于

(C)小于2(D)大12且小于

解设x为四小线段中的任意一段，则4-x为其余三段之和.

由于两点之间线段最短，有4-xx，

解得x2,

故应选C.

【例2-2】一个多边形一共有14条对角线，则它的内角和为.

解一个n边形，从一个顶点出发，有n-3条对角线，共有12nn-3条对角线(因为每条对角线被计算了两次)，于是有

因为7×4=28,故n=7.

所以，这个三角形的内角和为7-2

【例2-3】在凸n边形中,小于108°的角最多可以有().

(A)3个(B)4个(C)5个(D)6个

解设凸n边形中,小于108°的角有x个.

当多边形的一个内角小于108°时，它的外角大于72°，而任意多边形的外角和等于360°，故有72x360,解得x5.

故小于108°的角最多可以有4个.

故选B.

评注利用多边形外角和为360°的结论来解题，是处理与多边形有关的问题的常用的思路和方法.

【例2-4】一凸n边形最小的内角为95°，其他内角的度数依次增加10°，则n=.

解这个凸n边形的内角由小到大依次为95°,105°,115°,125°,135°,145°,…

于是它的外角由大到小依次为85°,75°,65°,55°,45°,35°,…

而这六个外角之和85°+75°+65°+55°+45°+35°=360°.

所以n=6.

【例2-5】如图2-1所示,已知AB∥ED,∠C=90°,∠B=∠E,∠D=130°,∠F=100°,求∠E的大小.

解如图2-2所示,延长DC、AB交于G,

因为ED∥AB,∠D=130°,所以∠G=50°.

又因为∠BCD=90°,∠BCD=∠G+∠CBG,所以∠CBG=40°.

所以∠ABC=140°,即∠E=140°.

【例2-6】如图2-3所示,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=().

(A)100°(B)120°(C)150°(D)180°

解如图2-4所示,连接AC、FE.

则有∠G+∠D=∠CAD+∠GCA.

∠EFC+∠AEF=∠EAC+∠ACF

=(∠EAD+∠CAD)+(∠GCF+∠GCA)

=(∠EAD+∠GCF)+(∠CAD+∠GCA)

=(∠EAD+∠GCF)+(∠G+∠D).

∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G

=(∠EAD+∠GCF)+(∠G+∠D)+∠B+(∠AEB+∠CFB)

=(∠EFC+∠AEF)+∠B+(∠AEB+∠CFB)

=

=∠EFB+∠FEB+∠B

=180°.

【例2-7】如图2-5所示,在四边形ABCD中,E、F分别是两组对边延长线的交点,EG、FG分别平分∠BEC、∠DFC,若∠ADC=60°,∠ABC=80°,则∠EGF`的大小是().

(A)140°(B)130°

(C)120°(D)110°

解因为∠ABC是△ABF的外角,所以.∠FAB=80°-∠AFB=80°-2∠AFG.

同理∠∠EAD=60°-2∠AEG.

又∠FAB=∠EAD,所以∠AFG-∠AEG=10°.

设EB与FG相交于N,则在△ENG中,∠∠G+∠AEG+∠ANG=180°.

又∠ANG=∠AFG+∠FAB,

所以∠G+∠AEG+∠AFG+∠FAB=180°.

即∠∠G+∠AEG+∠AFG+80°-2∠AFG=180°。

于是∠G=180°-80°+∠AFG-∠AEG=110°,故选D.

【例2-8】有一个凸十一边形，它是由若干个边长为1的等