2023年新高一（初升高）暑期数学衔接（新人教版）第16讲三角函数的图象与性质（教师版）.docxVIP

第16讲三角函数的图象与性质

【学习目标】

1.借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义，能画出这些三角函数的图象

2.了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值

3.借助图象理解正弦函数、余弦函数在上，正切函数在上的性质

【基础知识】

一、正弦函数的图象

1.正弦函数y＝sinx，x∈R的图象叫做正弦曲线．

2.正弦函数图象的画法

①几何法

(ⅰ)利用单位圆画出y＝sinx，x∈[0,2π]的图象；

(ⅱ)将图象不断向左、向右平移(每次移动2π个单位长度)．

②五点法

(ⅰ)画出正弦曲线在[0,2π]上的图象的五个关键点(0,0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，1))，(π，0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，－1))，(2π，0)，用光滑的曲线连接；

(ⅱ)将所得图象向左、向右平行移动(每次移动2π个单位长度)．

二、余弦函数的图象

1.余弦函数y＝cosx，x∈R的图象叫做余弦曲线．

2.余弦函数图象的画法

①要得到y＝cosx的图象，只需把y＝sinx的图象向左平移eq\f(π,2)个单位长度即可，这是由于cosx＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2))).

②用“五点法”画余弦曲线y＝cosx在[0,2π]上的图象时，所取的五个关键点分别为(0,1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0))，(π，－1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，0))，(2π，1)，再用光滑的曲线连接．将所得图象不断向左、向右平移(每次移动2π个单位长度)．

三、函数的周期性

1.一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．

2.如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．

3.记f(x)＝sinx，则由sin(2kπ＋x)＝sinx(k∈Z)，得f(x＋2kπ)＝f(x)(k∈Z)对于每一个非零常数2kπ(k∈Z)都成立，余弦函数同理也是这样，所以正弦函数、余弦函数都是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它们的周期，最小正周期都为2π.

4.周期函数的定义是对定义域中的每一个x来说的，只有个别的x的值满足f(x＋T)＝f(x)不能说T是f(x)的周期．

5.从等式“f(x＋T)＝f(x)”来看，应强调的是自变量x本身加的非零常数T才是周期．例如，f(2x＋T)＝feq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(T,2)))))＝f(2x)，则eq\f(T,2)是f(2x)的周期，但不一定是f(x)的周期．

6.如果T是函数f(x)的周期，那么kT(k∈Z，k≠0)也一定是函数f(x)的周期．周期函数的定义域不一定是R，但一定是无限集．并不是所有的周期函数都有最小正周期，如函数y＝0(x∈R)．

四、正弦函数、余弦函数的性质

【解读】

1.正弦函数、余弦函数有单调区间，但都不是定义域上的单调函数，即正弦函数、余弦函数在整个定义域内不单调．

2.正弦曲线(余弦曲线)的对称轴一定过正弦曲线(余弦曲线)的最高点或最低点，即此时的正弦值(余弦值)取最大值或最小值．

3.正弦曲线(余弦曲线)的对称中心一定是正弦曲线(余弦曲线)与x轴的交点，即此时的正弦值(余弦值)为0.

五、三角函数最值问题的三种常见类型及求解方法

1.形如y＝asinx(或y＝acosx)型，可利用正弦函数，余弦函数的有界性，注意对a正负的讨论．

2.形如y＝Asin(ωx＋φ)＋b(或y＝Acos(ωx＋φ)＋b)型，可先由定义域求得ωx＋φ的范围，然后求得sin(ωx＋φ)(或cos(ωx＋φ))的范围，最后求得最值．

3.形如y＝asin2x＋bsinx＋c(a≠0)型，可利用换元思想，设t＝sinx，转化为二次函数y＝at2＋bt＋c求最值．t的范围需要根据定义域来确定．

4.形如y＝eq\f(Asinx＋B,Csinx＋D)或y＝eq\f(Acosx＋B,Ccosx＋D)(A2＋C2≠0)的最大值最小值可解出sinx或cosx后利用其有界性来求．

六、正切函数的图象与性质

1.正切函数的图象

2.正切函数的图象叫做正切曲线．正切曲线是由被相互平行的直线eq\o(□,\s\up3(02))x＝eq\f(π,2)＋kπ，