江苏省南通市海门区2022-2023学年高三上学期期末数学试题（原卷版）.docx

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2023届高三第一学期期末调研考试

数学试题

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，，则（）

A. B. C. D.

2.复数（i为虚数单位）的虚部为（）

A.1 B. C.i D.

3.已知底面半径为的圆锥的侧面积与半径为1的球的表面积相等，则圆锥的母线长为（）

A. B.2 C. D.4

4.若向量，满足，，且，则（）

A. B. C. D.1

5.我国油纸伞的制作工艺巧妙.如图（1），伞不管是张开还是收拢，伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的角，且，从而保证伞圈能够沿着伞柄滑动.如图（2），伞完全收拢时，伞圈已滑到的位置，且，，三点共线，，为的中点，当伞从完全张开到完全收拢，伞圈沿着伞柄向下滑动的距离为24cm，则当伞完全张开时，的余弦值是（）

A. B. C. D.

6.、两组各3人独立的破译某密码，组每个人译出该密码的概率均为，组每个人译出该密码的概率均为，记、两组中译出密码的人数分别为、，且，则（）

A.， B.，

C.， D.，

7.在平面直角坐标系中，已知点，点，点满足，又点在曲线上，则（）

A. B. C. D.

8.两条曲线与存在两个公共点，则实数的取值范围为（）

A. B. C. D.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20题.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知在正四面体中，、、、分别是棱，，，的中点，则（）

A.平面 B.

C.平面 D.、、、四点共面

10.已知双曲线的左右焦点分别是，，过的直线交双曲线的右支于、两点，若为等腰直角三角形，则的离心率可能为（）

A. B. C. D.

11.设函数，，其中，.若，，且的最小正周期大于，则（）

A. B.

C.在上单调递增 D.在上存在唯一的极值点

12.若函数是定义在上不恒为零可导函数，对任意的，均满足：，，记，则（）

A B.

C. D.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知某班高三模拟测试数学成绩，若，则______.

14.函数在处的切线与坐标轴围成的封闭三角形的面积为______.

15.已知平行四边形中，，，.若沿对角线将折起到的位置，使得，则此时三棱锥的外接球的体积大小是______.

16.意大利数学家斐波那契于1202年写成《计算之书》，其中第12章提出兔子问题，衍生出数列：1，1，2，3，5，8，13，….记该数列为，则，，.如图，由三个图（1）中底角为60°等腰梯形可组成一个轮廓为正三角形（图（2））的图形，根据改图所揭示的几何性质，计算______.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知公差大于0的等差数列满足，.

（1）求的通项公式；

（2）在与之间插入个2，构成新数列，求数列的前110项的和.

18.某公司开发了一款可以供（或）个人同时玩的跳棋游戏.每局游戏开始，采用掷两颗质地均匀的骰子（骰子出现的点数为1，2，3，4，5，6），两个骰子的点数之和除以所得的余数对应的人先走第一步.两个骰子的点数之和除以的余数0，1，2，，分别对应游戏者，，，，.

（1）当时，在已知两个骰子的点数之和为偶数的条件下，求先走第一步的概率；

（2）当时，求两颗骰子点数之和除以余数的概率分布和数学期望，并说明该方法对每个游戏者是否公平.

19.如图，四棱锥的底面为平行四边形，平面平面，，，，分别为，的中点，且.

（1）证明：；

（2）若四棱锥的体积为1，求异面直线与所成角的余弦值.

20.已知的内角、、的对边分别为、、，，，点满足.

（1）若为角平分线，求的周长；

（2）求的取值范围.

21.已知抛物线经过点.

（1）求抛物线的方程；

（2）动直线与抛物线交于不同两点，，是抛物线上异于，的一点，记，的斜率分别为，，为非零的常数.

从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：

①点坐标为；②；③直线经过点.

22.已知函数，.

（1）当时，求的极值；

（2）当时，设函数的两个极值点为，，证明：.