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函数的凹凸性
凹凸性与拐点的性质主讲人:关占荣
函数凹凸性的概念凹的(上凹)例:例:凸的(下凹)定义:若曲线f(x)在开区间(a,b)内任意不相同两点构成的线段都位于曲线上方,则称曲线在(a,b)内是凹的.若任意不相同两点构成的线段都位于曲线下方,则称曲线在(a,b)内是凸的.
函数凹凸性与单调性函数的凹凸性与单调性是相对独立的性质.凹的凸的凹的凸的单调递减单调递增
曲线拐点的概念定义:连续曲线上凹凸弧的分界点称为曲线的拐点.例:例:拐点一般用坐标表示.凹的凸的拐点:凸的凹的拐点:
函数凹凸性的性质定理:设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内具有二阶导数,则(1)则f(x)在[a,b]上的是凹的;(2)则f(x)在[a,b]上的是凸的;例:x0时,凹的x0时,凸的
曲线拐点的性质定理:拐点(x0,f(x0))处二阶导数存在,则f″(x0)=0.例:拐点(0,0)处,拐点:凹的凸的
曲线拐点的性质例:反命题不成立:二阶导数为零的点不一定是拐点.x0或x0时,凹的.凹的凹的定理:拐点(x0,f(x0))处二阶导数存在,则f″(x0)=0.(0,0)处不是拐点
函数二阶导数不存在的点,也可能是拐点.例:不存在当x=0时,凹的凸的拐点:曲线拐点的性质
曲线拐点的性质凹凸区间的分界点(拐点)必定在二阶导数为零的点和二阶导数不存在的点出现.例:例:不存在二阶导数为零和二阶导数不存在的点,不一定是拐点.
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