2023年市竞赛试题第8稿公开课教案教学设计课件资料.docx

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2023年宁波市高中数学竞赛试题

2023年12月3日9:00-11:00

注意：

①本卷不得使用计算器；

②报考A组的考生作答A卷（所有试题），报考B组的考生作答B卷（前17题）；

③请考生按规定用笔，将所有试题的答案涂、写在答题纸上．

选择题Ⅰ（本题共4小题，每小题6分，共24分．每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分．）

1．已知为实数，则是的

A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件

2．将一个袋子中所有的骰子全部抛出，并去掉点数为偶数的骰子，将点数为奇数的骰子再放回这个袋子，称为一次操作．现袋子中有2个质地均匀的骰子，重复以上操作，直到去掉所有的骰子为止．则操作次数多于两次的概率是

A．B．C．D．

3．已知三棱锥，，点在底面的射影为△的外心，二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积是

A．B．C．D．

4．如图，椭圆的中心在原点，长轴在轴上．以为焦点的双曲线交椭圆

于四点，且．椭圆的一条弦交双曲线于，设，

第4题图当时，双曲线的离心率的取值范围

第4题图

A．B．C．D．

选择题Ⅱ（本题共4小题，每小题8分，共32分．每小题列出的四个选项中至少有一个是符合题目要求的，全部选对的得8分，选对但不全的得3分，不选、有选错的均不得分．）

5．已知样本数据的平均数是5，方差是1，则新样本数据，，，，

，，的

A．平均数是 B．平均数是11 C．方差是 D．方差是4

6．铅酸电池作为电源被广泛用于工业、军事、日常生活中，研究得到铅酸电池的理论容量（仅与电池本身有关）数值，放电时间数值和放电电流数值之间满足经验公式：，为与电池结构有关的常数（称为Peukert常数）．现有甲、乙两种不同的铅酸电池，它们的Peukert常数分别为．对于甲种铅酸电池，当放电电流数值为时，放电时间数值为；当放电电流数值为时，放电时间数值为．乙种铅酸电池的理论容量数值为，当放电电流数值为27时，放电时间数值为．下面说法正确的是

A．对于甲种铅酸电池，当放电电流数值为30时，放电时间数值不到

B．对于乙种铅酸电池，只要放电电流数值不超过54，放电时间数值可达以上

C．甲种铅酸电池的Peukert常数小于乙种铅酸电池的Peukert常数

D．甲种铅酸电池的理论容量数值大于乙种铅酸电池的理论容量数值

7．在△中，角所对的边分别为．设点是△内一点，满足，称点为△的布洛卡点，角为△的布洛卡角(如图)．则

第7题图A．当△是等边三角形时，布洛卡角等于

第7题图

B．当△是非等边的等腰三角形时，布洛卡点落在顶角的角平分线上

C．当△是等腰Rt△时，布洛卡角的正切值等于

D．当△是以A为直角顶点的等腰直角三角形时，△与△的面积相等

8．定义在上的函数同时满足：①；②当时，．

则

A．B．为偶函数

C．存在，使得D．任意，

填空题（本题共6小题，每小题8分，共48分．请把答案写在答题纸的相应位置上．）

9．已知，则的值是．

10．若函数（）的图象如图所示，则的值是．

第10题图

11．已知均为正实数，，则的最小值是．

12．关于的方程在上恰有个解，则正整数的值是．

13．用表示集合中的元素个数，定义．已知，函数，集合．若集合，且，则实数的取值范围是．

14．若复数满足，则的最大值是．

解答题Ⅰ（本题共3小题，第15、16题每题15分，第17题16分，共46分．）

15．如图，直四棱柱的底面是菱形，．

（Ⅰ）求异面直线与所成角的余弦值；

（Ⅱ）已知分别在直线上运动，求两点间距离的最小值．

第15题图

16．如图，两射线均与直线垂直，垂足分别为且．

点在直线上，点分别在射线上．

（Ⅰ）若为线段的中点，求的最小值；

（Ⅱ）△为等边三角形，求△面积的取值范围．

第16题图

17．已知双曲线,点，直线与双曲线的上，下两支分别交于（异于点），直线分别交轴于两点．

（Ⅰ）设直线的斜率分别为，求的值；

（Ⅱ）若四点共圆，求直线的方程．

解答题Ⅱ（A卷试题，B卷考生不答．本题共2小题，每小题25分，共50分．