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数学分支巡礼之十四：实变函数论

数学分支巡礼之十四

实变函数论的产生

微积分产生于十七世纪，到了十八世纪末十九世纪初，微积分学差不

多差不多上成熟了。数学家广泛地研究并建立起它的许多分支，是它专门

快就形成了数学中的一大部门，也确实是数学分析。

也正是在那个时候，数学家逐步发觉分析基础本身还存在着学多问题。

比如，什么是函数那个看上去简单而且十分重要的问题，数学界并没有形

成一致的见解。以至长期争辩者问题的如此和那样的解答，如此和那样的

数学结果，弄不清怎么说谁是正确的。又如，关于什么是连续性和连续函

数的性质是什么，数学界也没有足够清晰的明白得。

十九世纪初，曾经有人试图证明任何连续函数除个别点外总是可微的。

后来，德国数学家维尔斯特拉斯提出了一个由级数定义的函数，那个函数

是连续函数，然而维尔斯特拉斯证明了那个函数在任何点上都没有导数。

那个证明使许多数学家大为吃惊。

由于发觉了某些函数的奇特性质，数学家对函数的研究更加深入了。

人们又连续发觉了有些函数是连续的但处处不可微，有的函数的有限导数

并不黎曼可积；还发觉了连续然而不分段单调的函数等等。这些都促使数

学家考虑，我们要处理的函数，仅仅依靠直观观看和推测是不行的，必须

深入研究各种函数的性质。比如，连续函数必定可积，然而具有什么性质

的不连续函数也可积呢？假如改变积分的定义，可积分条件又是什么样

的？连续函数不一定可导，那么可导的充分必要条件由是什么样的？……

上面这些函数性质问题的研究，逐步产生了新的理论，并形成了一门

新的学科，这确实是实变函数。

实变函数的内容

以实数作为自变量的函数就做实变函数，以实变函数作为研究对象的

数学分支就叫做实变函数论。它是微积分学的进一步进展，它的基础是点

集论。什么是点集论呢？点集论是专门研究点所成的集合的性质的理论。

也能够说实变函数论是在点集论的基础上研究分析数学中的一些最差不多

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的概念和性质的。比如，点集函数、序列、极限、连续性、可微性、积分

等。实变函数论还要研究实变函数的分类问题、结构问题。

实变函数论的内容包括实值函数的连续性质、微分理论、积分理论和

测度论等。那个地点我们只对它的一些重要的差不多概念作简要的介绍。

实变函数论的积分理论研究各种积分的推广方法和它们的运算规则。

由于积分归根到底是数的运算，因此在进行积分的时候，必须给各种点集

以一个数量的概念，那个概念叫做测度。

什么实测度呢？简单地说，一条线段的长度确实是它的测度。测度的

概念关于实变函数论十分重要。集合的测度那个概念实由法国数学家勒贝

格提出来的。

为了推广积分概念，1893年，约当在他所写的《分析教程》中，提出

了“约当容度”的概念并用来讨论积分。1898年，法国数学家波莱尔把容

度的概念作了改进，并把它叫做测度。波莱尔的学生勒贝格后来发表《积

分、长度、面积》的论文，提出了“勒贝格测度”、“勒贝格积分”的概念。

勒贝格还在他的论文《积分和圆函数的研究》中，证明了有界函数黎曼可

积的充分必要条件是不连续点构成一个零测度集，这就完全解决了黎曼可

积性的问题。

勒贝格积分能够推广到无界函数的情形，那个时候所得积分是绝对收

敛的，后来由推广到积分能够不是绝对收敛的。从这些就能够看出，勒贝

格积分比起由柯西给出后来又由黎曼发扬的老积分定义宽敞多了。也能够

看出，实变函数论所研究的是更为广泛的函数类。

自从维尔斯特拉斯证明连续函数必定能够表示成一致收敛的多项式级

数，人们就认清连续函数必定能够解析地表达出来，连续函数也必定能够

用多项式来靠近。如此，在实变函数论的领域里又显现了靠近论的理论。

什么是靠近理论呢？举例来说，假