新高考数学一轮复习第3章 第13讲 拓展六 泰勒展开式与超越不等式在导数中的应用 (精讲）（学生版）.doc

第13讲拓展六：泰勒展开式与超越不等式在导数中的应用(精讲）

目录

第一部分：知识点精准记忆

第二部分：典型例题剖析

高频考点一：利用超越不等式比较大小

高频考点二：利用对数型超越放缩证明不等式

高频考点三：利用指数型超越放缩证明不等式

第一部分：知识点精准记忆

第一部分：知识点精准记忆

1、泰勒公式形式：

泰勒公式是将一个在SKIPIF10处具有SKIPIF10阶导数的函数利用关于SKIPIF10的SKIPIF10次多项式来逼近函数的方法.

若函数SKIPIF10在包含SKIPIF10的某个闭区间SKIPIF10上具有SKIPIF10阶导数，且在开区间SKIPIF10上具有SKIPIF10阶导数，则对闭区间SKIPIF10上任意一点SKIPIF10，成立下式：

SKIPIF10

其中：SKIPIF10表示SKIPIF10在SKIPIF10处的SKIPIF10阶导数，等号后的多项式称为函数SKIPIF10在SKIPIF10处的泰勒展开式，剩余的SKIPIF10是泰勒公式的余项，是SKIPIF10的高阶无穷小量.

2、麦克劳林(Maclaurin)公式

SKIPIF10

虽然麦克劳林公式是泰勒中值定理的特殊形式，仅仅是取SKIPIF10的特殊结果，由于麦克劳林公式使用方便，在高考中经常会涉及到.

3、常见函数的麦克劳林展开式：

（1）SKIPIF10

（2）SKIPIF10

（3）SKIPIF10

（4）SKIPIF10

（5）SKIPIF10

（6）SKIPIF10

4、两个超越不等式：（注意解答题需先证明后使用）

4.1对数型超越放缩：SKIPIF10（SKIPIF10）

SKIPIF10

上式（1）中等号右边只取第一项得：SKIPIF10SKIPIF10结论①

用SKIPIF10替换上式结论①中的SKIPIF10得：SKIPIF10SKIPIF10结论②

对于结论②左右两边同乘“SKIPIF10”得SKIPIF10，用SKIPIF10替换“SKIPIF10”得：

SKIPIF10（SKIPIF10）SKIPIF10结论③

4.2指数型超越放缩：SKIPIF10（SKIPIF10）

SKIPIF10

上式（2）中等号右边只取前2项得：SKIPIF10SKIPIF10结论①

用SKIPIF10替换上式结论①中的SKIPIF10得：SKIPIF10SKIPIF10结论②

当SKIPIF10时，对于上式结论②SKIPIF10SKIPIF10结论③

当SKIPIF10时，对于上式结论②SKIPIF10SKIPIF10结论④

第二部分：典型例题剖析

第二部分：典型例题剖析

高频考点一：利用超越不等式比较大小

1．（2022·全国·高三专题练习（文））已知SKIPIF10，则SKIPIF10的大小关系为（??