专题13 一网打尽外接球、内切球与棱切球问题 （14大核心考点）（讲义）（原卷版）.docxVIP

专题13一网打尽外接球、内切球与棱切球问题

【目录】

TOC\o1-3\h\z\u 2

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考点一：正方体、长方体外接球 5

考点二：正四面体外接球 5

考点三：对棱相等的三棱锥外接球 6

考点四：直棱柱外接球 8

考点五：直棱锥外接球 9

考点六：正棱锥与侧棱相等模型 10

考点七：侧棱为外接球直径模型 11

考点八：共斜边拼接模型 12

考点九：垂面模型 13

考点十：二面角模型 14

考点十一：坐标法 15

考点十二：圆锥圆柱圆台模型 16

考点十三：锥体内切球 18

考点十四：棱切球 19

纵观近几年高考对于组合体的考查，与球相关的外接与内切问题是高考命题的热点之一．高考命题小题综合化倾向尤为明显，要求学生有较强的空间想象能力和准确的计算能力，才能顺利解答．从近几年全国高考命题来看，这部分内容以选择题、填空题为主，大题很少见，此部分是重点也是一个难点，属于中等难度．

考点要求

考题统计

考情分析

外接球

2022年乙卷第12题，5分

2022年II卷第7题，5分

2022年I卷第8题，5分

2021年甲卷第11题，5分

【命题预测】

预测2024年高考，多以小题形式出现，也有可能会将其渗透在解答题的表达之中，相对独立．具体估计为：

（1）以选择题或填空题形式出现，考查学生的综合推理能力．

（2）热点是锥体内切球与棱切球问题．

内切球

2020年III卷第16题，5分

棱切球

2023年I卷第1题，5分

1、补成长方体

（1）若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图1所示．

（2）若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2所示．

（3）正四面体可以补形为正方体且正方体的棱长，如图3所示．

（4）若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图4所示

图1图2图3图4

1．（2022?乙卷）已知球的半径为1，四棱锥的顶点为，底面的四个顶点均在球的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为

A． B． C． D．

2．（2022?新高考Ⅱ）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为

A． B． C． D．

3．（2022?新高考Ⅰ）已知正四棱锥的侧棱长为，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是

A．， B．， C．， D．，

4．（2021?天津）两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为，则这两个圆锥的体积之和为

A． B． C． D．

5．（2021?甲卷）已知，，是半径为1的球的球面上的三个点，且，，则三棱锥的体积为

A． B． C． D．

6．（2023?甲卷）在正方体中，，为的中点，若该正方体的棱与球的球面有公共点，则球的半径的取值范围是．

7．（2023?甲卷）在正方体中，，分别为，的中点，则以为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为．

8．（2020?新课标Ⅲ）已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为．

考点一：正方体、长方体外接球

1、正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．

2、长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．

例1．（2023·四川·高三统考学业考试）若球的表面积为，则顶点均在该球球面上的正方体体积为（????）

A．256 B．64 C．27 D．8

例2．（2023·四川巴中·统考一模）已知长方体的表面积为22，过一个顶点的三条棱长之和为6，则该长方体外接球的表面积为.

例3．（2023·重庆渝北·高三重庆市南华中学校校考阶段练习）在长方体中，，，，则长方体外接球的表面积为．

考点二：正四面体外接球

如图，设正四面体的的棱长为，将其放入正方体中，则正方体的棱长为，显然正四面体和正方体有相同的外接球．正方体外接球半径为，即正四面体外接球半径为．

例4．（2023·四川宜宾·四川省宜宾市南溪第一中学校校考模拟预测）已知正四面体的外接球的体积为，则该正四面体的棱长为（????）

A． B． C． D．

例5．（2023·天津北辰·统考三模）中国雕刻技艺举世闻名，雕刻技艺的代表作“鬼工球”，取鬼斧神工的意思，制作相当繁复，成品美轮美奂．1966年，玉石雕刻大师吴公炎将这一雕刻技艺应用到玉雕之中，他把玉石镂成多层圆球，层次重叠，每层都可灵活自如的转动，是中国玉雕工艺的一个