高中数学常见解题思想方法思想篇（高三适用）：七、方程思想.docxVIP

学必求其心得，业必贵于专精

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函数与方程的思想是中学数学的基本思想,也是历年高考的重点.题型涉及选择题、填空题、解答题，难度有大有小，且试题中的大部分压轴题都与函数方程有关。

本讲讲述其中的方程思想。

可以说所有的习题中，凡是需要列等式来求解未知量的值，都需要方程,方程思想是一个宏观、抽象的思维，几乎遍布所有需要计算的习题中，接下来我们主要来看看,在高中数学习题中方程思想的应用.

一、什么是方程思想

方程的思想，就是从问题的数量关系入手，分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程、方程组,或者构造方程，通过解方程或方程组，或运用方程的根等性质去解决问题。函数思想是动态的变量关系,方程思想则是静态的等量关系,是动中求静，两者密切联系.

体现方程思想的方法，主要包括待定系数法、换元法、转换法和构造方程等四个方面。

二、方程思想在解题中的应用主要表现在四个层面：

1。解方程，主要是指解一次、二次方程，指数、对数方程，三角方程，复数方程等;

2.对含参数方程的讨论，常涉及一元二次方程的判别式、根与系数的关系、区间根、区间上恒成立等知识应用;

3.转化为对方程的研究，如直线与二次曲线的位置关系等；

4.构造方程求解问题。例如一个常用的基本方法待定系数法，它的实质就是方程思想的应用。

三、以下通过几种常见的问题，看一下方程思想的应用：

1.利用方程思想解决函数问题，函数式y＝f（x）可以看做二元方程y－f(x）＝0;对于函数y＝f（x），求f(x)的零点，就相当于求方程f（x）＝0的根；求两个函数图象的交点，可以通过联立方程组来求解.

2.利用方程思想来求函数的反函数，判别式法求函数的值域.

3。利用方程思想处理解析几何问题，例如直线和二次曲线的位置关系,需要通过联立方程组,化成一元二次方程，通过方程的根的个数，得到直线和二次曲线的位置关系.

4.用于解决数列问题，例如已知等差数列的除首项外的某两项的值，可以利用通项公式列出关于首项和公差的方程组，来求解等差数列的相关问题.

例：已知实数a,b，c成等差数列，a+1，b+1，c+4成等比数列,且a+b+c=15,求a，b，c.

故.

经验算，上述两组数符合题意。

可以看到,本题的列方程组和求解的过程,体现的就是方程思想.

5.列方程求解相关的量,例如求椭圆或双曲线的离心率时，可以构造关于e的方程，来解出e；在求解某个角的三角函数值时，可以建立关于其三角函数值的的方程来求解，等等例子很多.

6.实际应用问题中，通过列方程或方程组来解决。

以下几个练习题来体会方程思想在解题中的应用：

练习题：

1.【2015山东文，10】设函数,若，则（)

A.B。C.D.

2。在等差数列｛an}中，已知a5＝10，a12＝31，则通项an＝__________.

3。一个长方体共一顶点的三个面的面积分别为eq\r(2），eq\r（3)，eq\r(6），则该长方体的外接球体积为________。

4。等差数列｛an｝前9项的和等于前4项的和.若a1＝1，ak＋a4＝0，则k＝________。

5。【2014江苏,11】在平面直角坐标系xOy中,若曲线(a，b为常数)过点P(2，－5），??8且该曲线在点P处的切线与直线7x＋2y＋3＝0平行，则a＋b的值是。?

6.若曲线f(x）＝ax3＋lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________.

7。在平面直角坐标系xOy中,曲线y＝x2－6x＋1与坐标轴的交点都在圆C上.

（1)求圆C的方程；

（2)若圆C与直线x－y＋a＝0交于A,B两点,且OA⊥OB,求a的值。

练习题解析：

1。【2015山东文，10】设函数，若，则(）

A.B。C。D。

2。在等差数列｛an｝中，已知a5＝10，a12＝31，则通项an＝__________。

3.一个长方体共一顶点的三个面的面积分别为eq\r(2)，eq\r(3),eq\r(6),则该长方体的外接球体积为________.

解析：设长方体的长、宽、高分别为x，y,z,eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(xy＝\r(2）,，xz＝\r(3)，，yz＝\r（6））)eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝1，，y＝\r(2）,,z＝\r(3)，））

2r＝eq\r（x2＋y2＋z2)＝eq\r(6），V＝eq\f（4，3）πr3＝eq\r(6）π.

4.等差数列｛an}前9项的和等于前4项的和.若a1＝1,ak＋a4＝0，则k＝________.

5。【2014江苏，11】在平面