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3.1.3函数的奇偶性(第一课时)
一、单选题
1.下列命题正确的是(????)
A.奇函数的图象关于原点对称,且
B.偶函数的图象关于y轴对称,且
C.存在既是奇函数又是偶函数的函数
D.奇?偶函数的定义域可以不关于原点对称
2.下列函数既是偶函数,又在上单调递增的是(????)
A. B. C. D.
3.函数的图象大致为(????)
A. B.
C. D.
4.已知在上是偶函数,且满足,当时,,则(????)
A. B. C. D.
5.已知是定义在上的函数,则“是上的偶函数”是“都是上的偶函数”的(????)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6.设函数,则下列函数中为奇函数的是(????)
A. B.
C. D.
7.函数在单调递减,且为奇函数.若,则满足的的取值范围是(????)
A. B.
C. D.
8.已知函数是上的奇函数,且,且当时,,则的值是(????)
A.2 B. C.0 D.
二、多选题
9.已知函数是R上的奇函数,且当时,,则(????)
A. B.
C.是增函数 D.
10.已知是定义在R上的偶函数,但不是奇函数,则下列函数中为偶函数的有(????)
A. B.
C. D.
三、填空题
11.函数f(x)=x3-x的图象关于________对称.
12.若函数是定义在上的偶函数,则_____.
13.已知函数f(x)满足,且对于都有,请写出满足上述条件的一个函数解析式为_________________________(答案不唯一)
14.已知是定义在上的奇函数,当时,,则时,的解析式为________.
四、解答题
15.已知函数.
(1)当时,判断函数的奇偶性;
(2)当时,判断函数在上的单调性,并证明.
16.已知函数.
(1)证明函数为奇函数;
(2)若,求函数的最大值和最小值.
3.1.3函数的奇偶性(第一课时)
一、单选题
1.下列命题正确的是(????)
A.奇函数的图象关于原点对称,且
B.偶函数的图象关于y轴对称,且
C.存在既是奇函数又是偶函数的函数
D.奇?偶函数的定义域可以不关于原点对称
【答案】C
【分析】根据奇偶性的定义判断.
【详解】奇函数的图象关于原点对称,但不一定在x=0时有意义,比如,A错误;
偶函数的图象关于y轴对称,但不一定等于0,如,B错误;
函数y=0既是奇函数又是偶函数,C正确;
奇?偶数的定义域均是关于原点对称的区间,D错误.
故选:C.
2.下列函数既是偶函数,又在上单调递增的是(????)
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】根据函数的奇偶性和单调性即可求解.
【详解】对于A,为奇函数,所以A不符合题意;
对于B,为偶函数,在上单调递减,所以B不符合题意;
对于C,既是偶函数,又在上单调递增,所以C符合题意;
对于D,为奇函数,所以D不符合题意.
故选:C.
3.函数的图象大致为(????)
A. B.
C. D.
【答案】A
【分析】根据函数的奇偶性以及值域即可解出.
【详解】因为的定义域为,且,所以函数为奇函数,其图象关于原点对称,所以排除C;又当时,,当且仅当时取等号,所以排除B,D.
故选:A.
4.已知在上是偶函数,且满足,当时,,则(????)
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】利用函数的周期性和奇偶性得到,由此能求出结果.
【详解】解:在R上是偶函数,且满足,
当时,,
则.
故选:A.
5.已知是定义在上的函数,则“是上的偶函数”是“都是上的偶函数”的(????)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据偶函数的定义,从是定义在上的偶函数出发去推导的奇偶性,然后再进行反向推理即可.
【详解】由都是R上的偶函数,得,设,,为偶函数,即“都是R上的偶函数时,则必为偶函数”,反之,“若为偶函数,则不一定能推出都是R上的偶函数”,例如:取,则是R上的偶函数,而都不具备奇偶性,故“是R上的偶函数”是“都是R上的偶函数”的必要不充分条件.
故选:B.
6.设函数,则下列函数中为奇函数的是(????)
A. B.
C. D.
【答案】A
【分析】根据给定的函数,逐一计算各个选项中的函数,并分别判断作答.
【详解】函数,
对于A,,其图象关于原点对称,是奇函数,A是;
对于B,,其图象关于原点不对称,不是奇函数,B不是;
对于C,,其图象关于原点不对称,不是奇函数,C不是;
对于D,,其图象关于原点不对称,不是奇函数,D不是.
故选:A
7.函数在单调递减,且为奇函数.若,则满足的的取值范围是(????)
A. B.
C. D.
【答案】D
【分析】法一:不妨设,解即可得出答案.
法二:取,则有,又因为,所以与矛
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