初中数学八年级竞赛强化辅导讲义31讲：第 18讲菱形、矩形和正方形.docxVIP

第18讲菱形、矩形和正方形

知识方法

(1)有一个角是直角的平行四边形叫矩形.矩形的四个角都是直角，且对角线相等.

(2)有一组邻边相等的四边形是菱形，菱形的四边相等，对角线平分对角且互相垂直.

(3)既是矩形又是菱形的四边形叫正方形，它具有矩形和菱形的所有性质.

经典例题解析

【例18-1】如图18-1所示,E是等边△ABC的BC边上一点，以AE为边作等边△AEF，连接CF，在CF延长线取一点D，使∠DAF=∠EFC.试判断四边形ABCD的形状,并证明你的结论.

解四边形ABCD是菱形.证明如下：

在△BAE及△CAF中,AB=AC,AE=AF,∠BAE=60°—∠EAC=∠CAF,故△BAE≌△CAF.于是∠BEA=∠CFA.

因∠CFA=∠CFE+∠EFA=∠CFE+60°,∠BEA=∠ECA+∠EAC=∠EAC+60°,故∠EAC=∠EFC.

又已知∠DAF=∠EFC,于是∠EAC=∠FAD.

又AE=AF,∠AEC=∠AFD,故△AEC≌△AFD.

所以AC=AD,且∠D=∠ACE=60°,△ACD和△ABC都是等边三角形,所以四边形ABCD是菱形.

【例18-2】如图18-2所示,正方形ABCD中,E是CD的中点,F是DA的中点,连接BE与CF相交于P,求证:AP=AB.

证明在△CDF和△BCE中,CD=BC,∠CDF=∠BCE=90°,DF=CE,于是△CDF≌△BCE.故∠DCF=∠CBE.

因∠CBE+∠CEB=90°,所以∠DCF+∠CEB=90°,

故∠CPE=90°.

如图18-3所示,延长CF、BA交于G.

在△CDF和△GAF中,∠CDF=∠GAF=90°,DF=AF,∠CFD=∠GFA,于是△CDF≌△GAF,故AG=CD=AB.

于是PA是Rt△PGB斜边上的中线,PA

【例18-3】如图18-4所示,菱形PQRS内接于矩形ABCD,使得P、Q、R、S为AB、BC、CD、DA上的内点.已知PB=15,BQ=20,PR=30,QS=40.若既约分数mn为矩形ABCD的周长,求m+n.

解设AS=x,AP=y,由菱形性质知PR⊥SQ,且互相平分,这样得到8个直角三角形，易知PR与SQ的交点是矩形ABCD的中心.由已知可得其中6个直角三角形的边长分别为15、20、25.由对称性知CQ、CR的长为x、y.则Rt△ASP和Rt△CQR的三边长分别为x、y、25，矩形面积等于8个直角三角形的面积之和.

则20+x

又x2+y2=

当x=20时,BC=x+BQ=40,这与PR=30不符合.故x

所以，矩形ABCD的周长为215+20

【例18-4】设凸四边形ABCD的四个顶点满足条件：每一点到其他三点的距离之和都相等.试问：这个四边形是什么四边形?请证明你的结论.

解如图18-5所示,设四边形ABCD中,AB=a,BC=b,CD=c,DA=d,AC=e,BD=f，根据题意，得

a+d

式中m为常数，式②一式①，得

b+f=d+e.⑤

式③一式①，得

b+c=a+d.⑥

式④—式①,得

c+f=a+e.⑦

式⑤+式⑥-式⑦,得2b=2d,所以b=d.

式⑥+式⑦-式⑤,得2c=2a,所以a=c.

式⑦+式⑤-式⑥,得2f=2e,所以e=f.

由a=c，b=d知四边形是平行四边形，又由e=f知此四边形是矩形.

【例18-5】如图18-6所示,在正方形ABCD中,E、F分别是边BC、CD上的点,满足EF=BE+DF,AE、AF分别与对角线交于点M、N,求证:

1

证明(1)如图18-7所示,延长CD至E?,使BE=DE?,则△ABE≌△ADE?,于是∠BAE=∠DAE?,从而.AE

在△AEF和△AE?F中,EF=BE+DF=E?D+DF=

(2)在AE?上取一点M?,使得AM=AM?,连接M?

于是，∠ABM=∠ADM?,BM=DM?,

【例18-6】如图18-8所示,正方形MNBC内有一点A,以AB、AC为边向△ABC形外作正方形ABRT和正方形ACPQ,连接RM、BP,求证:BP∥

解如图18-9所示,连接RN、PM,延长