初中数学八年级竞赛强化辅导讲义31讲：第 16讲 勾股定理.docxVIP

第16讲勾股定理

知识方法

勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.

勾股定理的逆定理：如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形.

勾股定理是平面几何中最重要的几何定理之一，在几何图形的计算和论证方面有着重要的应用.它沟通了形与数，将几何论证转化为代数计算，是一种重要的数学方法.

勾股定理的逆定理常用来证明两条直线互相垂直.

经典例题解析

【例16-1】如图16-1所示,已知△ABC中,∠C=90°,D、E分别是BC、AC上的任意一点.求证：A

分析求证中所述的4条线段分别是4个直角三角形的斜边，因此考虑从勾股定理入手.

证明由勾股定理得

AD

所以AD2+

【例16-2】如图16-2所示,在凸四边形ABCD中,已知AB:BC:CD:DA=2:2:3:1,且∠ABC=90°,则∠DAB的度数是.

解如图16-3所示,连接AC,设AB=2k,则BC=2k,CD=3k,DA=k.

在Rt△ABC中,

AC

因为AB=BC,所以∠BAC=∠BCA=45°.

在△ACD中,因为AC2+

所以∠

【例16-3】如图16-4所示,点D、E分别在△ABC的边AC和BC上,∠C为直角,DE∥AB,且3DE=2AB,AE=13,BD=9,那么,AB的长等于.

解由DE∥AB,得

DE

记CE2

CE=2k,CB=3k,CD=2m,CA=3m.

因∠C为直角，故由勾股定理，得

CE2+

4

两式相加，有k

因此A

于是AB

例16-3中，设比例因子k与m，可使线段用长度表示，以便利用勾股定理求出线段之长.

【例16-4】如图16-5所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,I是△ABC的三条内角平分线的交点,过I作ID⊥AB于D,若BD=m,AD=n,那么△ABC的面积为.

解因I是△ABC的三条内角平分线的交点，故I到三边的距离相等，如图16-6所示，作IE⊥AC,IF⊥BC,显然△AID≌△AIE,△BID≌△BIF,△CIF≌△CIE,于是BF=BD=m,AE=AD=n

设CE=CF=r,因AC2+BC2=

化简得r

所以△ABC的面积=

【例16-5】一个直角三角形的边长都是整数，它的面积和周长的数值相等.试确定这个直角三角形三边的长.

解设a、b分别为两个直角边，则斜边c=a2+b2,由于a、b、c均为正整数,所以

两边平方整理得1

消去ab,得14ab

由于a、b为正整数,ab,则a-4=

所以a=12,b=5,c=13或a=8,b=6,c=10.

【例16-6】若直角三角形两直角边上中线长度之比为m，则m的取值范围是.

解设Rt△ABC(∠C=90°)的两直角边BC=a,AC=b,则BC边上的中线长为a24+b2,AC边上的中线长为a2+b24

所以4m2-1m2-4

【例16-7】如图16-7所示,AM是△ABC的边BC上的中线,求证:AB2+AC

证明如图16-8所示,过A作AD⊥BC于D.由勾股定理,得AB2=AD

注意到BM=CM,故

AE2+AC

(1)如果设△ABC三边长分别为a、b、c，它们对应边上的中线长分别为m。、m。、m。，由例16-7的结论不难推出关于三角形三条中线长的公式.

m

m

m

(2)涉及含有线段的平方证明题，在初二的学习范围内，多是用勾股定理作为工具来证明的.在解答此类问题时所用的辅助线，最常用的是作三角形的高，有时还要用到某些几何变换，如平移、旋转、对称等.

【例16-8】如图16-9所示,设M是△ABC内任意一点,MD⊥AB,ME⊥BC,MF⊥CA,又BD=BE,CE=CF,求证:AD=AF.

分析这里有很多垂线，很自然地想到勾股定理.

证明如图16-10所示，连接MA、MB、MC.由条件中的垂直关系，有

A

=

=

=

=

=

=

同理可证AF2=

另证：

AD2-AM2=DB2-

更进一步,可以把已知的等式BD=BE,CE=CF改为不等式BD≤BE,CE≤CF,结论则变为AF≥AD.

强化训练

一、选择题

1.在△ABC中,∠C=90°,∠A=15°,AB=10,则△ABC的面积为().

(A)10B10

2.如图16-11所示，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m，如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端的滑动距离().

(A)等于1m