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第12讲分式的运算
知识方法
初中数学竞赛中与分式有关的问题和整式一样,包括分式的化简求值与恒等式的证明等,在处理分式恒等变形问题时,分式的基本性质是最重要的依据.
在解答有关分式的问题时,有如下几种方法:
(1)逆用通分的步骤,将一个分式变形为两个分式的和或者一个整式与一个分式的和.
(2)在等式两边“取倒数”也是处理分式问题的一种常用方法.
(3)在证明恒等式时,可以采用逆推的方法(分析法)来思考.
(4)在遇到条件中有比例式出现时,可以先将相等的比设成一个字母.
经典例题解析
【例12-1】化简:a
解原式=
=
=0.
【例12-2】求证:a
证明因为左边=
=-
=
=
=右边,
所以等式成立.
【例12-3】已知xm+yn+
解由mx+n
所以myz+nxz+pxy=0.
故x
=
【例12-4】将ab-ba写成两个因式的积,使它们的和为
解a
因为a
所以所求的两个式子分别为a+ba
【例12-5】已知ax+b
证明因为a
所以a
将已知条件代入,得
16+3
因为ax
42+7
联立式①、式②,解得1
故a
【例12-6】已知a+b=3,ab=1,c+d=4,cd=2且ab+c
1
2
证明因为a+
a+b+c+d=7,a2+b2+c2+d2=(a+b)2+(c+d)2-2ab—2cd=19.
(1)因为a
所以a2b
故a
=
=7B-7.
(2)因为a2b
所以a
=
=7(7B-7)-19
=49B—68.
【例12-7】已知abc-a2
分析在有关分式的诸问题中,往往一道题牵涉多方面的知识,对于分式条件等式的证明,更是需要综合运用有理式的变形技巧及代入法、换元法等数学方法,通过分析推理在已知条件的约束下,将分式恒等变形,推出结论.本题并不复杂,但用常规的“直接代入法”无济于事,将已知条件作“整体变形”似乎也难奏效,我们考虑“化整为零”,把已知条件左边的三个分式分别用其他两个表示,这只需用到通分的基本变形方法就够了,再进行合成即得到所证结论.于是“化整为零”的小技巧解决了大问题.
证明由已知条件,得
a
所以a
同理得b
c
所以a
=
=0.
【例12-8】在1~2009这2009个正整数中,使n2+2n
解分离分式n2+2n+1的整数部分,将分子
要使n2+2n+1不是既约分数,只要3n+1不是既约分数即可;注意到3为质数,所以,n+1=3,6,9,12,…,3×669,3×670,共670个数.因此n=2,5,8,11,…,2006,2009,
强化训练
一、选择题
1.已知x、y、z满足2x=3y-
(A)1B13C
2.化简分式x-c
A?1a-x
3.设有理数a、b、c都不为0,且a+b+c=0,则1b2
(A)正数(B)负数(C)0(D)不能确定
4.设xx2-mx+
(A)1B1m2+
5.若x2-13x+1=0
(A)1(B)3(C)5(D)7
二、填空题
6.计算222233+11112
7.已知x-1x
8.已知a、b、c为不等于0的实数,且a+b+c=0,则a1b+1c
9.若a+b-cc=
10.已知x+y+z=3a(a≠0),那么x-a
三、解答题
11.化简下面表达式为最简结果:
x
+
12.设不等于0的三个数a、b、c满足1a+1b+1c=
13.已知x、y、z是实数,且x-y2+y-z2+
14.求最大的正整数n,使得n3+100能被n+10
15.已知非零实数a、b、c满足a+b+c=0,求证:
1
2a
第12讲分式的运算
一、选择题
1.【答案】B.
【解析】由2x=3y-z=5z+x得
2.【答案】B.
【解析】原式=x-c
=
=
3.【答案】C.
【解析】由a+b+c=0,得a+b=-c,a2+2ab+b2=c2,所以a2+b2-c2=-2ab.
同理b2+c2-a2=-2bc,c2+a2-b2=-2ca.
所以原式=
4.【答案】C.
【解析】由条件知x≠0,因而x2-mx+1x
又x
=
=
=
=3m2
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