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湖北沙市中学2024-2025学年高三下学期月考(四)数学试题
注意事项:
1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.集合中含有的元素个数为()
A.4 B.6 C.8 D.12
2.在四边形中,,,,,,点在线段的延长线上,且,点在边所在直线上,则的最大值为()
A. B. C. D.
3.已知,且,则的值为()
A. B. C. D.
4.给出以下四个命题:
①依次首尾相接的四条线段必共面;
②过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面;
③空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角必相等;
④垂直于同一直线的两条直线必平行.
其中正确命题的个数是()
A.0 B.1 C.2 D.3
5.的展开式中含的项的系数为()
A. B.60 C.70 D.80
6.已知是虚数单位,若,则()
A. B.2 C. D.3
7.已知,则下列关系正确的是()
A. B. C. D.
8.在中,角的对边分别为,若.则角的大小为()
A. B. C. D.
9.已知为虚数单位,实数满足,则()
A.1 B. C. D.
10.函数且的图象是()
A. B.
C. D.
11.“”是“,”的()
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
12.记为数列的前项和数列对任意的满足.若,则当取最小值时,等于()
A.6 B.7 C.8 D.9
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.已知半径为4的球面上有两点A,B,AB=42,球心为O,若球面上的动点C满足二面角C-AB-O的大小为60°
14.已知向量,满足,,,则向量在的夹角为______.
15.从集合中随机取一个元素,记为,从集合中随机取一个元素,记为,则的概率为_______.
16.(5分)在平面直角坐标系中,过点作倾斜角为的直线,已知直线与圆相交于两点,则弦的长等于____________.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)已知函数,.
(1)讨论函数的单调性;
(2)已知在处的切线与轴垂直,若方程有三个实数解、、(),求证:.
18.(12分)已知函数.
(1)解关于的不等式;
(2)若函数的图象恒在直线的上方,求实数的取值范围
19.(12分)已知椭圆的短轴的两个端点分别为、,焦距为.
(1)求椭圆的方程;
(2)已知直线与椭圆有两个不同的交点、,设为直线上一点,且直线、的斜率的积为.证明:点在轴上.
20.(12分)已知点,且,满足条件的点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程;
(2)是否存在过点的直线,直线与曲线相交于两点,直线与轴分别交于两点,使得?若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由.
21.(12分)已知动圆经过点,且动圆被轴截得的弦长为,记圆心的轨迹为曲线.
(1)求曲线的标准方程;
(2)设点的横坐标为,,为圆与曲线的公共点,若直线的斜率,且,求的值.
22.(10分)已知函数f(x)=x-lnx,g(x)=x2-ax.
(1)求函数f(x)在区间[t,t+1](t>0)上的最小值m(t);
(2)令h(x)=g(x)-f(x),A(x1,h(x1)),B(x2,h(x2))(x1≠x2)是函数h(x)图像上任意两点,且满足>1,求实数a的取值范围;
(3)若?x∈(0,1],使f(x)≥成立,求实数a的最大值.
参考答案
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.B
【解析】
解:因为集合中的元素表示的是被12整除的正整数,那么可得为1,2,3,4,6,,12故选B
2.A
【解析】
依题意,如图以为坐标原点建立平面直角坐标系,表示出点的坐标,根据求出的坐标,求出边所在直线的方程,设,利用坐标表示,根据二次函数的性质求出最大值.
【详解】
解:依题意,如图以为坐标原点建立平面直角坐标系,由,,,,
,,,
因为点在线段的延长线上,设,
解得
,
所在直线的方程为
因为点在边所在直线上,故设
当时
故选:
本题考查向量的数量积,关键是建立平面直角坐标系,
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