选择题题库40道：计算机科学与技术-数学-线性代数_矩阵理论：运算与性质.docxVIP

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矩阵乘法满足以下哪种运算律？

A．交换律:AB=BA

B．结合律:(AB)C=A(BC)

C．分配律:A(B+C)=AB+AC

D．逆元素律:AA^-1=I

答案：B,C

解析:矩阵乘法不满足交换律，但满足结合律与分配律。逆元素律描述的是一个矩阵与其逆矩阵的乘积是单位矩阵，但并不是所有矩阵都存在逆矩阵。

在矩阵乘法中，如果A是一个m×n的矩阵，B是一个n×p的矩阵，那么AB的结果是一个什么大小的矩阵？

A．m×p

B．n×n

C．m×n

D．n×p

答案：A

解析:矩阵乘法中，前一个矩阵的列数必须等于后一个矩阵的行数。结果矩阵的行数等于前一个矩阵的行数，列数等于后一个矩阵的列数。

矩阵A的特征值是那些使得A-λI不是满秩矩阵的λ值，其中I是单位矩阵。一个矩阵存在特征值的前提是？

A．矩阵是方阵

B．矩阵元素为实数

C．矩阵对角线元素不为0

D．矩阵的行数等于列数加一

答案：A

解析:矩阵A的特征值仅存在与方阵中。方阵是行数与列数相等的矩阵。

施密特正交化过程中，我们通过以下哪种方式将线性无关向量组转化为标准正交基？

A．递归地对每个向量减去其在前向量上的投影，然后标准化

B．将所有向量乘以一个相同的标量

C．将向量组中的每个向量随机旋转90度

D．仅对向量组中的第一个向量进行标准化

答案：A

解析:施密特正交化过程是一个系统地从线性无关向量组中构建标准正交基的方法，它通过递归地减去每个向量在前面向量上的投影部分，再进行标准化，来实现正交化和标准化。

矩阵的秩表示什么？

A．矩阵中非零元素的数目

B．矩阵的行数或列数

C．矩阵中非零行或列的最大数目

D．矩阵所有元素的和

答案：C

解析:矩阵的秩是矩阵行向量或列向量线性独立的向量的最大数目，即矩阵的行秩或列秩。

如果一个矩阵A是正交矩阵，以下哪个性质必须满足？

A．A的行列式等于1

B．A的逆矩阵等于其转置矩阵

C．A的每个元素都是正数

D．A的秩等于其大小

答案：B

解析:正交矩阵的一个重要性质是其逆矩阵等于其转置矩阵，即AAT=ATA=I。

矩阵的迹是矩阵对角元素的和，对于一个n阶方阵，它的迹等于什么？

A．矩阵的秩

B．矩阵的行列式

C．矩阵的特征值之和

D．矩阵的规范值

答案：C

解析:矩阵的迹等于其特征值之和。

线性代数中，奇异值分解（SVD）将任何矩阵分解为三个矩阵的乘积，其中两个是正交矩阵，一个是对角矩阵。如果A是一个m×n的矩阵，下面哪个是正确的？

A．A=UΣV^T,其中U是m×m,Σ是m×n,V是n×n

B．A=UΣV,其中U是m×m,Σ是m×m,V是m×n

C．A=UV,其中U是m×n,V是n×n

D．A=U^TΣV,其中U是m×m,Σ是m×n,V是n×n

答案：A

解析:奇异值分解是A=UΣV^T，其中U和V是正交矩阵，Σ是对角矩阵，其对角线元素为A的奇异值。

若矩阵A的伴随矩阵A^满足A^A=det(A)I，其中det(A)表示A的行列式，I为单位矩阵，则A可以是什么类型的矩阵？

A．对称矩阵

B．正交矩阵

C．可逆矩阵

D．对角矩阵

答案：C

解析:当且仅当A为可逆矩阵时，A^*A=det(A)I成立。

假设矩阵A与B都是3×3的方阵，如果A与B相似，以下哪项不一定同时满足？

A．A与B的行列式相等

B．A与B的迹相等

C．A与B具有相同的特征向量

D．A与B具有相同的特征值

答案：C

解析:相似矩阵具有相同的特征值、行列式和迹，但它们的特征向量不一定相同。

下列哪一个运算不保证两个矩阵的乘积为对称矩阵？

A．两个对称矩阵的乘积

B．一个对称矩阵和一个对称矩阵的逆的乘积

C．一个矩阵和它的转置的乘积

D．一个矩阵和它的逆的乘积

答案：A

解析:两个对称矩阵的乘积不一定是对称的，除非这两个矩阵是可交换的。

如果矩阵A和矩阵B都是n×n矩阵，并且AB=BA=I，其中I是单位矩阵，则A和B是什么关系？

A．A和B是伴随矩阵

B．A和B是共轭矩阵

C．A和B是逆矩阵

D．A和B是相似矩阵

答案：C

解析:如果一个矩阵A与另一个矩阵B相乘的结果是单位矩阵，即AB=I，那么A是B的逆矩阵，B是A的逆矩阵。

对于矩阵A和矩阵B，如果A和B相似，则它们的特征多项式是什么关系？

A．相等

B．互为对方的逆

C．完全不相关

D．一个为另一个的转置

答案：A

解析:相似矩阵有相同的特征多项式和特征值。

假设矩阵A是一个n×n的方阵，如果A的行列式为0，则以下哪个结论一定成立？

A．矩阵A没有特征值

B．矩阵A可逆

C．矩阵A的秩小于n

D．矩阵A的所有元素为0

答案：C