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HW2:
1.
followtheNPrule,suppose:
H0:x(n)=w(n)
H1:x(n)=Arn+w(n)
WedecideH1when:γ=
γ=
LetT(x)bethedetectorwehave:
T(x)==
WhereshouldbechosentomeetPFA=α.
SoPD=Q(Q-1(PFA)-)whereisthesignalenergy,=A2
ThuswhenN→
?when0r1,→A2,andsoPD→Q(Q-1(PFA)-)
?whenr≥1,→,andsoPD→1.
2.
TogetD,weusetheformula.
Wenoticethat==
So
notethatwehave
Whereand.
NextwegetVand.for,,itsfeaturefunctionis=0==,so
Thenwegetitsfeaturevector:
=andnotethatvectorvhasaunitedlengthnamely:
Soit’seasytoget:,so
thus===
3.
wesupposetwoconditionsbelow:
H0:x(n)=s0(n)+w(n),n=0,1
H1:x(n)=s1(n)+w(n),n=0,1
BecauseP(S0)maynotequaltoP(S1)),tominimizePeweusetheMAPrule.WedecideH1if:
P(x|H1)p(H1)P(x|H0)P(H0)equalsto:
P(H1)p(H0)equalsto:
2||X-S1||2-||X-S0||2=(X-S1)T(X-S1)-(X-S0)T(X-S0)=2xT(S1-S0)-(S1TS1-S0TS0)
ThegivensignalS1andS0haveasameenergysowehave:
22xT(S1-S0)equalsto:
xT()=x(1)
Sowecandrawthedecisionliney=x1=asbelow:
4.
tominimizePeweusetheMLrulebecauseeachsignalisequallikelytobetransmitted.Suppose:
Hi:x(n)=Ai+w(n),n=0,1,……,N-1.i=0,1,……,M-1.
WhenreceivingwechooseHiwhenp(x|Hi)isthelargestone.thedetectoris
T(x)==
WhenM=2,
Pe=p(H1|H0)P(H0)+P(H0|H1)P(H1)
=[p(H1|H0)+P(H0|H1)]
=
Whensignalenergyisfixed,welet,sowehave:
Pe=where
==
SowhenA1=-A0,,wecangetaminimizedPe.
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